Bigarren mailako ekuazio

Bigarren mailako ekuazio osoaren ebazpen edo soluzioa formula honek ematen du:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ ,

"±" ikurraren bitartez bi balio hauek soluzio direla adierazten da:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

eta

${\displaystyle \ x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

${\displaystyle b^{2}-4ac=0\,}$ betetzen denean, aurreko bi soluzioak berdinak dira: ${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}\,}$.

Irudiko
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) funtzio koadratikoan, funtzioak x abzisa-ardatza ebakitzen dueneko puntuak, x = −1 and x = 2 alegia, x² − x − 2 = 0 bigarren mailako ekuazioaren soluzioak dira.

Bigarren mailako ekuazioaren soluzioak a, b eta c zenbaki errealak badira funtzio koadratikoaren zeroak dira, aipaturiko funtzioak 0 balioa hartzen dueneko x puntuak alegia:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\ \$ ;\ \ f(x)=0\,}

Diskriminatzailea honako adierazpen honen balioa da (delta izeneko letra maiuskula grekoaz adierazten da):

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$

Bigarren mailako ekuazio batek, koefizienteak zenbaki errealak izanik, soluzio erreal bat edo bi izan dezake ala bi erroak irudikari edo konplexuak dira. Erro edo soluzioen kopurua eta izaera diskriminatzaileak hartzen duen balioa aztertuz jakiten da [6] :

• Diskriminatzailea positiboa bada, bi soluzioak zenbaki erreal dira. Diskriminatzailea zenbaki karratu edo karratu perfektua bada, bi soluzioak zenbaki arrazionalak direla egiaztatzen da.
• Diskriminatzailea 0 bada, soluzioa bakarra da eta gainera zenbaki erreala: ${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}\,}$.
• Diskriminatzailea negatiboa bada, ez dago erro errealik eta bi soluzioak zenbaki konplexuak dira eta bata bestearen zenbaki konplexu konjugatu dira.

Diskriminatzailearen zeinua zein den, bigarren mailako ekuazioaren erroen kopurua eta izaera ezberdina da:
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Ebazpen orokorrak baliozkoa da osatu gabeko ekuazioetarako, agertzen ez diren koefizienteak 0 bihurtuz. Dena den, ekuazio hauetarako ebazpen bereziak ere eman daitezke [7]:

• ${\displaystyle ax^{2}+c=0\;}$ motako ekuazioaren erroak hauek dira:

${\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a}}}.\,}$

• ${\displaystyle ax^{2}+bx=0\;}$ motako ekuazioaren erroak hauek dira:

${\displaystyle x=0\ ,\ x={\frac {-b}{a}}.\,}$

• ${\displaystyle ax^{2}=0\;}$ motako ekuazioaren erroa hau da: ${\displaystyle x=0\,}$.

Bigarren mailako ekuazio bat ebatzita, bi soluzioak hartzen badira (ikus Ebazpena, artikulu honetan bertan), honela faktoriza daiteke ekuazioa:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)=0}$

Soluzioa bakarra bada, honela faktorizatzen da:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=0}$

Osatu gabeko ekuazioak honela faktorizatzen dira:

• ${\displaystyle ax^{2}+c=\left(x-{\sqrt {\frac {-c}{a}}}\right)\left(x+{\sqrt {\frac {-c}{a}}}\right),}$
• ${\displaystyle ax^{2}+bx=x(x+{\frac {b}{a}})\;,}$
• ${\displaystyle ax^{2}=ax\cdot x=0\;.}$

${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0\,}$ motako ekuazioak ${\displaystyle (n=2,3,\ldots )\,}$ bigarren mailako ekuazioen ebazpena erabiliz ebaz daitezke, ${\displaystyle u=x^{n}\,}$ aldagai aldaketa baten bitartez. Adibidez, ${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0\,}$ ekuazio bikoadratikoa honela ebazten da[3]:

${\displaystyle u=x^{2}\,\rightarrow au^{2}+bu+c=0}$

Bigarren mailako ekuazioko ${\displaystyle u\,}$ askatuz:

${\displaystyle u={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Eta aldagai aldaketa deseginez:

${\displaystyle x=\pm {\sqrt {u}}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.}$

Hori horrela, ekuazio bikoadratikoak lau soluzio ezberdin ditu.

Ekuazio irrazionaletan ezezaguna errokizun baten barnean agertzen da, besteak beste. Batzuetan, berreketak eginez, bigarren mailako ekuazio batera heltzen da[3]. Adibidez,

${\displaystyle ax+n{\sqrt {bx+c}}=d}$

Erroketa isolatuz eta karratua kalkulatuz, bigarren mailako ekuazio batera heltzen da:

${\displaystyle (n{\sqrt {bx+c}})^{2}=(d-ax)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}x^{2}-(2da-n^{2}b)x+(d^{2}-cn^{2})=0\,}$

Ebazpena ohizko formulaz egiten da.

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ ekuazioko ${\displaystyle a,\ b,\ c\,}$ koefizienteen eta ekuazioaren ${\displaystyle x_{1},\ x_{2}\,}$ erro edo soluzioen artean berdintza erlazio hauek egiaztatzen dira, Vièteren formulei esker:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\quad \quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

Erlazio hauek honela froga daitezke:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-ax(x_{1}+x_{2})+ax_{1}x_{2}\,}$

Beraz,

${\displaystyle -a(x_{1}+x_{2})=b\quad$ ;\quad ax_{1}x_{2}=c}

Eta, azkenik,

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\quad$ ;\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ ekuazioa ${\displaystyle x^{2}\,}$ monomioaz zatituz hasiera batean, ebazpenerako beste formula bat lortzen da, karratuaren osaketa garatuz:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\c{\frac {1}{x^{2}}}+b{\frac {1}{x}}+a&=0\\c\left({\frac {1}{x}}+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}-c{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}+a&=0\\c\left({\frac {1}{x}}+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4c}}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {b}{2c}}&=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4c^{2}}}}\\{\frac {1}{x}}&=-{\frac {b}{2c}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4c^{2}}}}.\end{aligned}}}$

Eta azken berdintzatik bigarren mailako ekuazioaren erroen formula alternatiboa lortzen da:

${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}$.

• Bigarren mailako ekuazioak
• Bigarren mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa.
• Bigarren mailako ekuazioak ulertzeko bideoa.
• Bigarren mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa II.
• Bigarren mailako ekuazioaren soluzio kopurua kalkulatzea diskriminatzailea erabilita.
• Bigarren mailako funtzioak irudikapen grafikoa: erpina.
• Bigarren mailako funtzioak irudikapen grafikoa: Erpina II.
• Bigarren mailako funtzioak irudikapen grafikoa: ©.
• Bigarren mailako funtzioak irudikapen grafikoa: ebakitze puntua..