Beheren eta goren

Matematikan, (P, <) multzo partzialki ordenatu baten S azpimultzo bat izanik, horren beherena, existitzen bada, P-ren elementu maximoa da, S-ko elementu guztiak baino txikiago edo berdinak dena. Beste hitzez, S-ko behe-bornerik handiena da. S multzoaren beherena inf(S) adierazten da.

A zenbaki errealen multzoa (zirkulu berdez eta gorriz adierazita), S A-ren azpimultzo bat (zirkulu berdeak), eta S-ren beherena (infimum ingelesez) eta gorena (supremum ingelesez).

Gorena, existitzen bada, P-ren elementu minimoa da, S-ko elementu guztiak baino handiago edo berdina dena. Hots, S-ko goi-bornerik txikiena da. S multzoaren gorena sup(S) adierazten da.

Propietateak

Gorena eta beherena existitzen badira, orduan bakarrak dira.
$\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$ , aipaturiko gorenak existitzen badira
$\inf(S)=-\sup(-S)$ , non $-S=\{-s|s\in S\}$ den
Multzo batek maximoa du, baldin eta soilik bere gorena barnean hartzen badu
Multzo batek minimoa du, baldin eta soilik bere beherena barnean hartzen badu
Zenbaki errealen multzoan, goi-bornatutako edozein azpimultzok (multzo hutsa izan ezik) gorena du.

Adibideak

Beherena

\inf \,\{1,2,3\}=1.

\inf \,\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.

\inf \,\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\}={\sqrt[{3}]{2}}.

\inf \,\{(-1)^{n}+1/n:n=1,2,3,\dots \}=-1.

Gorena

$\sup\{1,2,3\}=3\,$
$\sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,$
$\sup\{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,$
$\sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \}=1\,$

Erreferentziak

Supremum, mathworld.wolfram.com webgunean.
Infimum, mathworld.wolfram.com webgunean.

Kanpo estekak

Datuak: Q17502105
Multimedia: Infimum and supremum / Q17502105

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.