Bayesen teorema

Bitez ${\displaystyle A,\ B}$ bi gertakizun:

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}$

${\displaystyle P(A)}$ a priori edo aurretiko probabilitatea da.

${\displaystyle P(A|B)}$ a posteriori edo ondorengo probabilitatea da, ${\displaystyle B}$ gertakizuna gauzatu dela jakinik. A posteriori probabilitateak a priori probabilitatea zehazten du, B gertakizunak ematen duen informazioari esker.

Probabilitate osoaren teoremari esker, Bayes-en teorema era honetan ere azal daiteke, ${\displaystyle \{A_{i}\},\ A_{i}}$ izanik lagin espazioaren zatiketa bat eta bertako elementu bat, gertakizun bat alegia, hurrenez hurren:

${\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})\,P(A_{i})}{\sum _{j}P(B|A_{j})\,P(A_{j})}}\!}$

Gaixotasun bat diagnostikatzeko froga bat erabiltzen da. Froga ez da perfektua ordea: orain arte jasotako datuen arabera, pertsona gaixo baten kasuan, frogak baiezkoa emateko probabilitatea 0.95 da. Pertsona gaixorik ez badago berriz, frogak ezezkoa emateko probabilitatea 0.90 da. Oro har, pertsonen %1 gaixorik dagoela uste da. Pertsona bati emandako frogak baiezkoa eman badu, nola aldatzen dira gaixorik eta ez gaixorik izateko probabilitateak?

Bayes-en teorema taula honen bitartez gara daiteke, "B: frogak baiezkoa eman du" dela jakinik:

${\displaystyle A_{i}}$	${\displaystyle P(A_{i})}$	${\displaystyle P(B|A_{i})}$	${\displaystyle P(A_{i})xP(B|A_{i})}$	${\displaystyle P(A_{i}|B)}$
gaixo	0.01	0.95	0.0095	0.0095/0.1085=0.087
ez gaixo	0.99	0.10	0.099	0.099/0.1085=0.913
GUZTIZKO	1		0.1085	1

Teoremaren formula erabiliz:

${\displaystyle P(gaixo|frogak\ baiezko)={\frac {0.01\times 0.95}{0.01\times 0.95+0.99\times 0.10}}=0.087\!}$

${\displaystyle P(ez\ gaixo|frogak\ baiezko)={\frac {0.99\times 0.10}{0.01\times 0.95+0.99\times 0.10}}=0.913\!}$

Gaixo izateko %1eko a priori probabilitatea %8.7eko a posteriori probabilitatera aldatzen da, frogak baiezko eman duela jakin ondoren.