Barietate aljebraiko

Barietate aljebraikoak geometria aljebraikoa aztertzeko objektu nagusiak dira, matematikaren azpieremu bat. Oro har, aldaera aljebraiko bat zenbaki errealen edo konplexuen gainean ekuazio polinomikoen sistema batek dituen ebazpen-multzoa da. Definizio modernoek kontzeptu hori hainbat modutan orokortzen dute, eta, aldi berean, jatorrizko definizioaren azpian dagoen intuizio geometrikoa zaintzen saiatzen dira.[1]

Barietate aljebraikoa definitzeko konbentzioak zertxobait ezberdinak dira. Adibidez, definizio batzuek barietate aljebraiko bat murriztezina izatea eskatzen dute, eta horrek esan nahi du ez dela Zariskiren topologian itxitako bi multzo txikiagoren batura. Definizio horren arabera, murriztu ezin diren barietate algebraikoak multzo aljebraikoak dira. Beste konbentzio batzuek ez dute murrizketarik eskatzen.

Aljebraren oinarrizko teoremak lotura bat ezartzen du aljebraren eta geometriaren artean, frogatzen baitu zenbaki konplexuen koefizienteak dituen aldagai batean polinomio moniko bat (objektu aljebraiko bat) plano konplexuko erroen multzoak zehazten duela (objektu geometriko bat). Emaitza hori orokortuz, Hilberten Nullstellensatzek funtsezko korrespondentzia ematen du eraztun polinomikoen idealen eta multzo aljebraikoen artean. Nullstellensatz eta antzeko emaitzei esker, matematikariek elkarrekikotasun estua ezarri dute multzo aljebraikoei buruzko gaien eta eraztunen teoriaren artean. Korrespondentzia hori geometria aljebraikoaren ezaugarri bereizgarria da.