Azpiespazio topologia

Izan bedi ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ espazio topologikoa eta ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ -ren azpimultzoa, ${\displaystyle A}$-ren azpiezpazio topologia honela dago definituta:

${\displaystyle \tau _{A}=\{A\cap U\mid U\in \tau _{X}\}.}$

Hau da, ${\displaystyle A}$-ren azpimultzo bat irekia da azpiespazio topologikoan baldin eta solik baldin ${\displaystyle A}$-ren eta ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$-n irekia den multzo baten ebakidura gisa adieraz badaiteke.

${\displaystyle \tau _{A}}$azpiespazioan itxiak izango dira,${\displaystyle \tau _{X}}$espazioan itxia den eta A-ren arteko ebakidura gisa adieraz badaiteke, eta itxien multzoa ${\displaystyle C_{A}}$denotatuko dugu.

${\displaystyle A}$ multzoak azpiezpazio topologia badauka, orduan, berez espazio topologikoa da, eta ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$-ren azpiezpazioa deritzo. Espazio topologikoen azpimultzoek azpiezpazio topologia dutela ulertzen da maiz, besterik esaten ez bada.

${\displaystyle A}$, ${\displaystyle X}$-ren azpimultzo baterako azpiezpazio topologia modu honetan ere defini dezakegu: topologiarik txikiena zeinetarako partekotasun aplikazioa ${\displaystyle \imath :A\hookrightarrow X}$ jarraitua den.

125x125px

Izan bitez ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle X}$-ren azpimultzoa eta ${\displaystyle \imath _{A}:(A,\tau _{A})\longrightarrow (X,\tau _{X})|\imath _{A}(x)=x}$ partekotasun aplikazioa.

• Orduan ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$edozein espazio topologiko baterako ${\displaystyle f:(Y,\tau _{Y})\longrightarrow (A,\tau _{A})}$ aplikazioa jarraitua da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle \imath _{A}\circ f}$ jarraitua bada.
• ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle A}$-ren gaineko beste topologia bada non ${\displaystyle \imath _{A}:(A,\tau _{A})\longrightarrow (X,\tau _{X})}$ jarraitua den, orduan, ${\displaystyle \tau _{A}\subseteq \tau }$.

Ondorioz, ${\displaystyle f:(X,\tau _{X})\longrightarrow (Y,\tau _{Y})}$jarraitua bada, orduan ${\displaystyle f_{|A}:(A,\tau _{A})\longrightarrow (Y,\tau _{Y})|f(x)=x}$jarraitua da. Izan ere, ${\displaystyle f_{|A}=\imath _{A}\circ f}$,

eta aurreko proposizioaren ondorioz, ${\displaystyle f_{|A}}$jarraitua da.

Propietate gehiago:

• ${\displaystyle V}$ ∈ ${\displaystyle \tau _{A}}$ baldin eta soilik baldin ${\displaystyle U\in \tau _{X}}$badago non ${\displaystyle V=U\cap A}$ den.
• ${\displaystyle F\in C_{A}}$ baldin eta soilik baldin ${\textstyle G\in C_{X}}$ badago non ${\displaystyle F=G\cap A}$ den.
• ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \tau _{X}}$-ren ireki-oinarria bada, orduan, ${\displaystyle \beta _{A}=\{B\cap A\mid B\in \beta \}}$ ${\displaystyle \tau _{A}}$-ren ireki-oinarria da.
• ${\displaystyle N\in N_{x}^{A}}$ baldin eta soilik baldin ${\displaystyle M\in N_{x}^{X}}$ badago non ${\displaystyle N=M\cap A}$ den.
• ${\displaystyle B_{x}}$ x-ren ingurune-oinarria bada ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ espazio topologikoan, orduan${\displaystyle B_{x}^{A}=\{B\cap A\mid B\in B_{x}\}}$ x-ren ingurune-oinarria da ${\displaystyle (A,\tau _{A})}$-n.
• ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$-ren azpioinarria bada orduan ${\displaystyle \sigma _{A}=\{S\cap A:S\in \sigma \}}$${\displaystyle \tau _{A}}$-ren azpioinarria da.
• ${\displaystyle B\subseteq A}$ bada, orduan, ${\displaystyle {\bar {B}}^{A}={\bar {B}}^{X}\cap A}$ eta ${\displaystyle B'^{A}=B'^{X}\cap A.}$
• ${\displaystyle B\subseteq A}$ bada, orduan, ${\displaystyle fr_{A}(B)\subseteq fr(B)\cap A}$ eta ${\displaystyle {\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{B}}}\cap A\subseteq {\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{B^{A}}}}}$, eta berdintza ematen da ${\displaystyle A\in \tau }$ denean.

Izan bitez ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ espazio topologikoa, ${\displaystyle (A,\tau _{A})}$ eta ${\displaystyle B\subseteq A}$. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$-ren azpiezpazio moduan ikus daiteke, ${\displaystyle B}$-ren gaineko ${\displaystyle \tau _{B}}$topologia erlatiboa lortuz edota ${\displaystyle (A,\tau _{A})}$-ren azpiezpazio moduan${\displaystyle (\tau _{A})_{B}}$topologia erlatiboa lortuz. Orduan,${\displaystyle \tau _{B}=(\tau _{A})_{B}}$

Hurrengoetan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sinboloak zenbaki errealen multzoa adierazten du ohiko topologiarekin.

• Zenbaki arrunten, ${\displaystyle \mathbb {N} }$, azpiezpazio topologia, ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ren azpiezpazio gisa, topologia diskretua da(zenbaki osoena, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ere bai) .
• Zenbaki arrazionalek, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ren azpiezpazio gisa,  ez dute topologia diskretua,${\displaystyle \tau _{dis}}$, {0} adibidez ez da multzo irekia ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-n. a eta b arrazionalak badira, orduan (a,b) eta [a,b] tarteak irekia eta itxia dira hurrenez hurren, baina a eta b irrazionalak badira, orduan x arrazional guztien multzoa non a < x < b itxia eta irekia da.
• [0,1] multzoa ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ren azpiezpazio gisa, itxia eta irekia da, aldiz, ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ren azpiezpazio gisa bakarrik itxia da.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ren azpiezpazio gisa, [0, 1] ∪ [2, 3] multzoa, bi multzo ireki disjuntuek osatzen dute (itxiak ere direnak), eta, ondorioz, azpiespazio ez-konexu bat da.
• Izan bitez A = [0, 1) ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ren azpiezpazioa . Orduan [0, 1/2) irekia da A -n, baina ez ${\displaystyle \mathbb {R} }$-n. Halaber, [½, 1) itxia da A-n, baina ez ${\displaystyle \mathbb {R} }$-n. A bai irekia eta itxia da bere buruaren azpimultzo gisa, baina ez ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ren azpimultzo gisa.

Adibide gehiago ikasitako espazio topologikoetan

• ${\displaystyle (X,\tau _{ind})}$espazioan, non ${\displaystyle \tau _{ind}=\{X,\emptyset \}}$,edozein ${\displaystyle A\subset X}$, ${\displaystyle \tau _{A}=\tau _{ind}}$.
• ${\displaystyle (X,\tau _{dis})}$espazioan,non ${\displaystyle \tau _{dis}={\mathcal {P}}}$,${\displaystyle X}$-ren partiketa ,orduan edozein ${\displaystyle A\subset X}$, ${\displaystyle \tau _{A}=\tau _{dis}}$
• ${\displaystyle (X,\tau _{kof})}$espazioan, non, ${\displaystyle \tau _{kof}=\{U\subset X:X\backslash U{\mbox{ finitua da edo }}U=\emptyset \}}$ , ${\displaystyle A}$ infinitua bada, orduan ${\displaystyle \tau _{A}=\tau _{kof}}$ eta ${\displaystyle A}$ finitua bada, orduan ${\displaystyle \tau _{A}=\tau _{dis}}$.
• ${\displaystyle (X,\tau _{kok})}$espazioan, non ${\displaystyle \tau _{kok}=\{U\subseteq X\$ :\ X\setminus U{\mbox{ kontagarria da edo }}A=\emptyset \}} , ${\displaystyle A}$ kontagarria ez bada, orduan ${\displaystyle \tau _{A}=\tau _{kok}}$ eta ${\displaystyle A}$ kontagarria bada, orduan ${\displaystyle \tau _{A}=\tau _{dis}}$.

Propietate bat heredagarria da, espazio topologiko batek propietate bat betetzeak inplikatzen badu bere edozein azpiezpaziok ere propietate hori beteko duela. Azpiezpazio itxiek soilik propietatea betetzen badute orduan ahulki heredagarri deritzo.

• Metrizagarria izatea propietate heredagarria da.
• Baire espazio baten edozein azpiezpazio ireki Baire ezpazio bat da.
• Espazio trinko baten edozein azpiespazio itxi trinkoa da.
• Hausdorff (T2) izatea propietate heredagarria da.
• Espazio normala izatea ahulki heredagarria da.

Izan bitez X eta Y bi multzo eta ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$X-ren estalkia (hau da ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=X}$) . Demagun ${\displaystyle f_{i}:A_{i}\longrightarrow Y}$ erako aplikazioa dugula non ${\displaystyle i\neq j}$ denean ${\displaystyle x\in A_{i}\cap A_{j}}$guztietarako ${\displaystyle f_{i}(x)=f_{j}(x)}$den( ${\displaystyle f_{i|_{A_{i}\cap A_{j}}}}$=${\displaystyle f_{j|_{A_{i}\cap A_{j}}}}$).

Orduan, ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ aplikazio konbinatua, modu honetan definituta dagoen aplikazioa da: ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y|f(x)=f_{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in A_{i}}$bada.

Aurreko egoeran, ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$eta ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$espazio topologikoak badira :

(i) ${\displaystyle \forall i\in I}$, ${\displaystyle A_{i}\in \tau _{X}}$eta ${\displaystyle f_{i}:(A_{i},\tau _{A_{i}})\longrightarrow (Y,\tau _{Y})}$ jarraitua bada, orduan ${\displaystyle f:(X,\tau _{X})\longrightarrow (Y,\tau _{Y})}$ aplikazio konbinatua jarraitua da.

(ii) ${\displaystyle I}$ finitua bada,${\displaystyle \forall i\in I}$ , ${\displaystyle A_{i}\in C_{X}}$ eta ${\displaystyle f_{i}:(A_{i},\tau _{A_{i}})\longrightarrow (Y,\tau _{Y})}$ jarraituak ,orduan${\displaystyle f:(X,\tau _{X})\longrightarrow (Y,\tau _{Y})}$ aplikazio konbinatua jarraitua da.

Murgilketa bat ${\displaystyle f:(X,\tau _{X})\longrightarrow (Y,\tau _{Y})}$apliklikazio bat da non${\displaystyle f:(X,\tau _{X})\longrightarrow (f(X),\tau _{f(X)})}$ homeomorfismo bat den. Esango dugu ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$-n murgilduta dagoela ${\displaystyle f}$ -ren bidez.

Murgilketa baten bidez${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ espazioa ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$-ren azpiezpazio gisa ikusten da.

Zatidura espazio topologikoa

Biderkadura espazio topologikoa