Azelerazio

Batez besteko azelerazioa esaten zaio denbora-tarte finitu batean gertatu den abiadura-bektorearen aldakuntzari. Honelaxe adierazten da era matematikoan, ${\displaystyle t_{1}}$ aldiunetik ${\displaystyle t_{2}}$ aldiunera bitartean, gorputzak jasan duen batez besteko azelerazioa:

non ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\text{m}}}$ batez besteko azelerazioa den, ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{2}}$eta ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}}$ bukaerako eta hasierako aldiuneetako abiadurak izanik, hurrenez hurren. Definizio honetan kontuan hartu dugu abiaduraren eta azelerazioaren izaera bektoriala. Izaera bektorial hori agerian agertzen da eskuinaldeko irudiko bi kasuetan. Goiko kasuan, ibilbidea zuzena izanik, hasierako eta bukaerako abiadurak norabide berekoak dira, eta halaber dira norabide berekoak abiaduren arteko aldakuntza eta batez besteko azelerazioa. Beheko kasuan, ordea, hasierako eta bukaerako abiadurak norabide desberdinekoak direnez, bien arteko kendurak bestelako norabidea du, baita batez besteko azelerazioak ere.

Bigarren pausoan kalkulu difentzialeko teknikak erabiliko ditugu, preseski deribatu kontzeptuaren definizioa. Hortaz, definizioz, aldiuneko azelerazioa deritzogu batez besteko azelerazioaren balio limiteari, ${\displaystyle \Delta t}$ denbora-tartearen balioa zerorantz jotzean; bestelako hitzekin esanik, abiaduraren deribatuari. Hauxe da, beraz, aldiuneko azelerazioaren adierazpen matematikoa:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {v}}}{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}.}$$

Hots, Varignon-ek azaldu zuen bezala, «aldiuneko azelerazioa abiaduraren deribatua» da, ibilbideko puntu bakoitzean. Agerikoa denez, hau ere magnitude bektoriala da; horrek esan nahi du azelerazioaren modulua eta norabidea kontsideratu behar ditugula. Gauzak horrela, gorputzaren higidura grafikoki irudikatzean, bereizi egin ahal izango ditugu ibilbidea (denboran zehar pasaturiko puntu guztiak marraztuz) eta, aldi berean, puntu bakoitzeko abiadura (zeina ibilbidearen tangentea den) eta azelerazioa (zeinak bi osagai izango dituen higidura lauaren kasuan).

Objektuen artean gertatzen diren interakzioak dira, hala nola presioa, indar elektromagnetikoa, grabitazioa... Indar hauek dira Newtonen lehenengo legea (inertziaren printzipioa) hausten dutenak; alegia, elkarrekintzaren ondoriozko indar horiek dira erreferentzia-sistema inertzial batean ageri diren azelerazioen sortzaileak.

Isaac Newtonek proposatutako mekanikaren lehenengo bi legeetan presentzia zehatza du azelerazioak. Hain zuzen ere, lehenengo legeak dioenez —inertziaren printzipioari dagokiona—, indarren eraginik jasaten ez duen partikulak abiadura konstantea du —azelerazio nulua du— sistema inertzial batean, hots, ez du azeleraziorik jasango:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=0\rightarrow {\boldsymbol {v}}={\text{kte}}\rightarrow {\boldsymbol {a}}=0.}$$

Bestetik, bigarren legeak zehazki adierazten du partikulan eragiten duen ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ indarraren, partikularen ${\displaystyle m}$ masaren, eta indarraren eraginaren ondorioz partikularen ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ azelerazioaren arteko erlazioa, betiere kontuan izanik indarra eta azelerazioa magnitude bektorialak direla; eta masa, eskalarra:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}.}$$

Baina lege hori, izatez, erreferentzia-sistema inertzialetan betetzen da, eta elkarrekintzei dagozkien indarrekin betetzen da sistema horietan. Beraz, interakzioan egindako indarra eta interakzioaren ondorioz sorturiko azelerazioa elkarren proportzionalak dira, proportzionaltasun konstantea partikularen masa izanik. Baina beste objektu batekiko elkarrekintzarik ez badago, azeleraziorik ez dago.

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=0\rightarrow {\boldsymbol {a}}=0.}$$

Bestela esanda, erreferentzia-sistema inertzial batean elkarrekintza-indarrik egon ezean, partikula higidura zuen uniformean higituko da, inertzia printzipioa betez, Newtonen lehenengo legea, alegia.

Newtonen grabitazio unibertsalaren legea ere erlazionaturik dago azelerazio kontzeptuarekin, eta horrek garrantzi berezia du gu bizi garen Lurraren grabitatearen koasuan. Hain zuzen ere, Lurrak egiten digun ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{g}}}$ grabitate-indarraren balioa honako hau dela kontuan izanik:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{g}}=-G{\frac {mM_{\text{L}}}{R^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{\text{r}},}$$

non ${\displaystyle G}$ grabitazio unibertsalaren konstantea den, ${\displaystyle m}$ lurrazalean dagoen edozein gorputzen masa, ${\displaystyle M_{\text{L}}}$ Lur planetaren masa, ${\displaystyle R}$ Lurraren erradioa eta ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\text{r}}}$ Lurraren erradioaren norabideko bektore unitarioa. Horretan oinarriturik, Lurraren gainazalean dauden gorputz guztiok jasaten dugun ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ azelerazio grabitatorioa defini dezakegu, honelaxe:

$${\displaystyle {\boldsymbol {g}}={\frac {{\boldsymbol {F}}_{\text{g}}}{m}}=-G{\frac {M_{\text{L}}}{R^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{\text{r}}.}$$

Bistan denez, Lurreko azelerazio grabitatorioa magnitude bektoriala da, eta beraren moduluak ${\displaystyle g=9,8{\text{ m·s}}^{-2}}$ balio du lurrazalean, gutxi gorabehera. Azelerazio hori dute lurrazaletik hurbil jausten ari diren gorputz guztiek (hutsean erorizgero, noski).

Aurreko atalean ("Azelerazioa kontzeptu erlatiboa da" izenekoan) azaldu denez, erreferentzia-sistema ez-inertzialetako ${\displaystyle B'}$ behatzaileak ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}'}$ azelerazioa neurtzean, interakzioei dagokien ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ azelerazioaz gain, kontuan hartu behar ditu sistema ez-inertzialaren higiduren kausaz ageri diren gainerako osagaiak; alegia, beraren neurketan balio hau lortuko du:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}'={\boldsymbol {a}}+(-{\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\times {\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}')-2{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}').}$$

Dakigunez, erreferentzia-sistema inertzialetan eta elkarrekintza-indarrekin baino ezin dugu aplikatu Newtonen bigarren legea. Zer egin dezakegu lege hori modu berean aplikatzeko sistema ez-inertzialetan? Horretarako, fisikariek trikimailu praktiko bat asmatu zuten, esanez sistema horietan inertzia-indarrak deritzen irudizko indarrek ere eragiten dutela, elkarrekintza-indarrez gain. Horretarako, arrazonamendu hau egiten da. Sistema ez-inertzialean ere Newtonen bigarren legea aplikatzeko,

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}'=m{\boldsymbol {a}}'}$$

balio duen indar batek egon behar luke eragiten. Baina, horrela bada, ${\displaystyle B'}$ behatzaileak neurturiko ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}'}$ azelerazioa kontuan izanik, indar horrek balio hau izango luke:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}'=m{\boldsymbol {a}}'=m{\boldsymbol {a}}+(-m{\boldsymbol {A}}-m{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\times {\boldsymbol {r}}'-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}')-2m{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}').}$$

Horrek esan nahi du, ezen objektuan eragiten diharduen elkarrekintza-indarraz gain —${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}}$ indarra, zeinari "indar erreala" ere esaten zaio batzuetan—, parentesiaren barneko azelerazioak sortzen dituzten "indarrak" ere sumatzen direla sistema ez-inertzialean; eta bakarrik sistema ez-inertzialean. Horregatik, indar horiei inertzia-indar edo "indar fiktizioak" ere esaten zaie. Indar horiek erreferentzia-sistema ez-inertzialaren higiduraren kausaz sumatzen dira, eta bakoitza higiduraren ezaugarri bati dagokio. Hauexek dira:

• ${\displaystyle -m{\boldsymbol {A}}}$ : Aurreko irudiko ${\displaystyle SEI}$ erreferentzia-sistema ez-inetzialaren jatorriaren azelerazioari dagokion inertzia-indarra.
• ${\displaystyle -m{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\times {\boldsymbol {r}}'}$ : ${\displaystyle SEI}$ erreferentzia-sistemaren azelerazio angeluarrari dagokion inertzia-indarra.
• ${\displaystyle -m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}')}$ : ${\displaystyle SEI}$ erreferentzia-sistemaren abiadura angeluarrari eta biraketa-ardatzarekiko posizioari dagokien inertzia-indar berezia, zeinari indar zentrifugoa deritzon.
• ${\displaystyle -2m{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}'}$ : ${\displaystyle SEI}$ erreferentzia-sistemaren abiadura angeluarraren eta abiadura erlatiboaren efektu konbinatuari dagokion inertzia-indar berezia, zeinari Coriolis-en indarra deritzon.

Bestela esanda, inertzia-indarrak sistema ez-inertzialetan Newtonen legea kalkuluetan egokiro erabiltzeko trikumailu bat dira.

Koordenatu kartesiarrak ${\displaystyle (x,y,z)}$ eta bektore unitarioak ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{x}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{y}}$, eta ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{z}}$ izanik (askotan ${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ eta ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ikurrak erabiltzen dira) honelaxe adierazten dira posizio, abiadura eta azelerazioari dagozkien bektoreak:

• Posizio-bektorea: ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=x(t){\boldsymbol {u}}_{x}+y(t){\boldsymbol {u}}_{y}+z(t){\boldsymbol {u}}_{z}.}$
• Abiadura-bektorea: ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)={\frac {{\text{d}}x(t)}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}y(t)}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}z(t)}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}=v_{x}{\boldsymbol {u}}_{x}+v_{y}{\boldsymbol {u}}_{y}+v_{z}{\boldsymbol {u}}_{z}.}$
• Azelerazio-bektorea: ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)={\frac {{\text{d}}v_{x}}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}v_{y}}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}v_{z}}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}=a_{x}{\boldsymbol {u}}_{x}+a_{y}{\boldsymbol {u}}_{y}+a_{z}{\boldsymbol {u}}_{z}.}$

Koordenatu-sistema zilindrikoa.

Koordenatu zilindrikoak ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ eta bektore unitarioak ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\rho }}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\varphi }}$, eta ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{z}}$ izanik:

• Posizioa: ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=\rho {\boldsymbol {u}}_{\rho }+z{\boldsymbol {u}}_{z}.}$
• Abiadura: ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\rho }}{\boldsymbol {u}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\boldsymbol {u}}_{z}.}$
• Azelerazioa: ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}){\boldsymbol {u}}_{\rho }=(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+\rho {\ddot {\varphi }}){\boldsymbol {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\boldsymbol {u}}_{z}.}$

Aurreko fomuletan, adierazpenak errazteko, mekanikan ohikoa den idazkera laburtu hau erabili da: aldagaiaren gainean puntu bat jartzean, aldagai horren denborarekiko deribatua adierazi nahi da, hots, ${\displaystyle {\dot {\rho }}\equiv {\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}}$; era berean bi puntu jartzean, denborarekiko bigarren deribatua adierazten da, hau da, ${\displaystyle {\ddot {\rho }}\equiv {\frac {{\text{d}}^{2}\rho }{{\text{d}}t^{2}}}}$.

Koordenatu-sistema esferikoa.

Koordenatu esferikoak ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$, eta bektore unitarioak ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{r}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\theta }}$, eta ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\varphi }}$ izanik:

• Posizioa: ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=r{\boldsymbol {u}}_{r}.}$
• Abiadura: ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\dot {r}}}={\dot {r}}{\boldsymbol {u}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\boldsymbol {u}}_{\theta }+r{\dot {\varphi }}\sin {\theta }{\boldsymbol {u}}_{\varphi }.}$
• Azelerazioa: ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\ddot {\boldsymbol {r}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta ){\boldsymbol {u}}_{r}+(r{\ddot {\theta }}^{2}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta ){\boldsymbol {u}}_{\theta }+(r{\ddot {\varphi }}\sin \theta +2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +2r{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos \theta ){\boldsymbol {u}}_{\varphi }.}$

Ikus daitekeenez, koordenatu-sistema zein den arabera, posizio, abiadura eta azelerazioaren formulak sinpleagoak edo korapilatsuagoak izan daitezke. Dena den, problema konkretuaren simetrien arabera, koordenatu-sistema bat edo beste aukeratzea komeni izaten da.

Azelerazioaren osagai tangentzialaren modulua ${\displaystyle (a_{\text{t}})}$abiaduraren moduluak denbora-unitateko pairatzen duen aldaketa da; matematikoki esanez, abiaduraren moduluaren denborarekiko deribatua da:

$${\displaystyle a_{\text{t}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}},}$$

Bektore modura harturik, azelerazio tangentzial hori ibilbidearen bektore tangentzial unitarioaren ${\displaystyle ({\boldsymbol {u}}_{\text{t}})}$ bidez adieraz daiteke:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\text{t}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\text{t}}.}$$

Agerikoa denez, abiaduraren modulua konstante denean, azelerazio tangentziala nulua izango da.

Azelerazioaren osagai normala abiadurak pairatzen duen norabide-aldaketaren ondorioa da. Ibilbidea kurbatua denean agertzen da, eta ibilbidearen kurbadura-zentroarekiko norabidea du; bestela esanda, ibilbidearen lerro ukitzailearen norabide perpendikularra du. Azelerazio normalaren moduluaren adierazpen matematikoa ondorengoa da:

$${\displaystyle a_{\text{n}}={\frac {v^{2}}{\rho }},}$$

non ${\displaystyle \rho }$ hori ibilbidearen kurbadura-erradioa den puntu horretan. Eta bektore gisa adieraziz, barruranzko ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\text{n}}}$ bektore unitario normalaren bidez:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\text{n}}={\frac {v^{2}}{\rho }}{\boldsymbol {u}}_{\text{n}}.}$$

Kasu honetan, abiaduraren modulua konstantea izan arren, azelerazio normala ez da nulua.

Higidura zuzena lerro zuzenean gertatzen dena da. Beraz, abiadurak etengabe du norabide berbera; eta azelerazio normalik ez du. Horregatik abiaduraren modulua kontsideratuko dugu soilik. Aldiuneko azelerazioaren definiziotik abiaturik, abiaduraren balioa kalkulatu ahalko dugu denboraren funtzioan:

$${\displaystyle a={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\rightarrow {{\text{d}}v}=a{{\text{d}}t},}$$

Hortaz, ${\displaystyle t=0}$ eta edozein ${\displaystyle t}$ aldiuneren artean integratuz, eta hasierako aldiuneko abiadura ${\displaystyle v_{0}}$ izan dela kontsideratuz, hauxe izango da abiaduraren balioa ${\displaystyle t}$ aldiunean:

$${\displaystyle v(t)=v_{0}+\int _{0}^{t}a{\text{d}}t.}$$

Azelerazioaren balioa zein den jakinik, erraz kalkula dezakegu integral hori. Eta modu berean eginez, abiaduraren definiziotik abiaturik eta aurretik lorturiko abidurari aplikatuz, partikularen posizioa lortu ahalko dugu. Adibide gisa, higidura zuzeneko zenbait kasu berezi aztertuko ditugu.

Abiadura konstantea den kasuan —edo gauza bera dena, azelerazioa nulua denean—, ${\displaystyle v=v_{0}={\text{kte}}}$ da. Orduan higidura zuzen uniformea dugu:

$${\displaystyle v(t)=v_{0},}$$

Abiadura etengabe hasierako berbera denez, objektua hasieran non egon den jakinez gero, honelaxe kalkulatu ahalko dugu edozein aldiunetako posizioa, hasierako posizioa, ${\displaystyle s_{0}}$, zein izan den jakinez gero:

Abiadura nuluz abiaturiko bolak ibilitako distantzia denboraren karratuaren proportzionala da.

$${\displaystyle v={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}\rightarrow \int _{s_{0}}^{s}{{\text{d}}s}=s-s_{0}=\int _{0}^{t}{v{{\text{d}}t}}=vt\rightarrow s=vt+s_{0}.}$$

Azelerazioa konstantea den kasuan, ${\displaystyle a={\text{kte}}}$ , higidura zuzen uniformeki azeleratua dugula esango dugu. Kasu horretan, edozein aldiunetako abiadura honako hau izango da:

$${\displaystyle v(t)=v_{0}+\int _{0}^{t}a{\text{d}}t=v_{0}+at}$$

Horretaz baliatuz, edozein aldiunetako posizioa, ${\displaystyle s(t)}$, ere kalkula dezakegu, hasierako posizioa, ${\displaystyle s_{0}}$, zein izan den jakinez gero:

$${\displaystyle s(t)=s_{0}+\int _{0}^{t}(v_{0}+at){\text{d}}t=s_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}.}$$

Demagun objetu bat grabitatearen eraginez erortzen utzi dugula altuera batetik, hasierako abiadura nuluz; higidura horri erorketa askea deritzo, eta${\displaystyle a=g=9,81{\text{m/s}}^{2}}$ azelerazio konstanteaz gertatzen da. Hasierako posiziotik neurtzen hasiz gero, ${\displaystyle s_{0}=0}$ eta ${\displaystyle v_{0}=0}$ izango dira. Beraz, erortzean ibilitako distantzia honako hau izango da:

$${\displaystyle s(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}.}$$

Alegia, ibilitako distantzia pasaturiko denboraren karratuaren proportzionala izango da, alboko irudian adierazita dagoenez.

Higidura zirkular uniformeko azelerazio zentripetua.

Higidura zirkular uniformean, ibilbidea zirkularra izan arren, partikularen abiaduraren modulua konstantea da. Hortaz, azelerazio tangentziala nulua da:

$${\displaystyle v={\text{kte}}\rightarrow a_{\text{t}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=0.}$$

Ostera, azelerazio normalak modulu konstantea du:

$${\displaystyle a_{\text{n}}={\frac {v^{2}}{R}}={\text{kte}},}$$

eta ibilbideko puntu guztietan zentroranzko norabide eta noranzkoa duenez, ohitura dago azelerazio zentripetua deitzeko.