Axioma
Axioma esparru teoriko batean egiazkotzat jotzen den baieztapena da, gainontzeko arrazoiketa eta azalpenak egiteko premisa edo abiapuntu gisa hartzen dena. Grezierako axíōma (ἀξίωμα) hitzetik dator: “duin edo egoki gisa hartua” edo “ageriko gisa gomendatzen dena”.
Garai helenistikoko greziar matematikariek mahai-gaineratutako termino honek esanahi ezberdinak ditu diziplina edo ikerketaren adar ezberdinetan erabiltzen denean. Filosofia klasikoarentzat axioma baieztapen ebidente edo era sendoan ezarritakoa da, ezbairik gabe onartzen dena. Logika modernoan, berriz, axioma arrazoiketarako premisa edo abiapuntu soil bat da.
Logikan adibidez, axioma beste baieztapen batzuk egiteko oinarri gisa hartzen den premisa da, ez duena zertan ebidentea izan. Tradizionalki axiomak baieztapen ageriko edo ebidenteen artean hautatzen ziren, ondorengo egitateak ondorioztatzeko asmoz. Egun, berriz, ereduen teoria modernoan, axioma multzo baten ondorio logikoak zein diren aztertzen da, zenbaitetan axioma bat edo bere kontrakoarekin saiakera egiten delarik, baieztapen ebidenteak ez direla ondorioztatzen bada. Izan ere, axiomaren egiazkotasuna edo faltsutasuna, nolabait, zentzu intuitiboaren araberakoa da; edo bere baitan ebidenteak direla esaten da.
Matematikan axioma logiko eta ez logikoak bereizten dira. Bi kasuetan axioma baieztapen matematikoak frogatzeko abiapuntutzat balio duen oinarrizko baieztapen bat da, baina badaude bien arteko aldeak. Axioma logikoak bere logika sistemaren baitan (adibidez, A eta B-k A inplikatzen dute) egiatzat hartzen diren baieztapenak dira eta askotan, forma sinbolikoan adierazten dira. Axioma ez logikoak (A+B=B+A esaterako), aldiz, teoria matematiko zehatz bateko elementuen inguruko baieztapen sustantiboak dira, propietate matematikoak.
Etimologia
Axioma hitza grezierako αξιωμα izenetik dator, “justua dirudiena” esan nahi duena, edo ebidentetzat hartua dela, frogatzeko beharrik gabe. Terminoa grezierako αξιοειν (axioein) aditzetik , “duintzat hartzea” edo “exijitzea”, eta aldi berean αξιος (axios) hitzetik datorrena, “orekan egotea” eta beraz “X bezain baliotsua izatea”, “duina”, “zuzena”.[1] Antzinako Greziako filosofoentzat axioma frogatzeko beharrik gabe egiazkoa zirudiena zen[1].
Postulatu hitzaren erroko esanahia ''eskatzea” edo “exijitzea” da. Adibidez, Euclides matematikariak eskatu zuen gauza batzuk posible zirela onartua izan zedin, esate baterako bi puntu marra zuzen batekin elkartzea[2].
Antzinako geometrek axioma eta postulatuen artean bereizketa txiki bat egiten zuten. Proclus-ek, Euklidesen liburuez ari zenean, azpimarratu zuen “Geminus-ek defendatu zuela laugarren postulatua ez zela postulatu gisa hartu behar, axioma gisa baizik, lehen hiruek ez bezala, ez zuelako eraikuntzarako aukera onartzen, propietate esentzial bai baizik”[2]. Boethius-ek bere aldetik “postulatu” eskaera hitzaz itzuli zuen eta axiomak nozio komun izendatu zituen, hurrengo eskuizkribuetan erabilera hau era zurrunean mantendu ez bazuen ere.
Garapen historikoa
Antzinako Grezia
Premisek (ezagutza zaharra) argumentu sendoen aplikazioaren bitartez ondorio (ezagutza berria) bat inplikatzen dutela dioen metodo logiko-deduktiboa antzinako greziarrek sortu eta garatu zuten eta matematika modernoen printzipio zentrala bilakatu da. Beste era batera esanda, ezin da ezer deduzitu, ez bada ezer ontzat ematen. Axioma eta postulatuak ezagutza deduktiboaren adar baten oinarrian dauden susmo edo suposizioak dira. Frogarik gabe onartzen dira, eta gainontzeko baieztapenak (teoremak, matematiketan) horien gainean edo laguntzaz frogatu behar dira. Nolanahi ere, matematikaren ulerkera Antzinarotik gaur egunera arte aldatu egin da, eta ondorioz, axioma eta postulatu kontzeptuek esanahi ezberdina dute egungo matematikariarentzat eta Aristoteles zein Euklidesentzat.
Antzinako greziarrentzat geometria beste zenbait zientzien artean beste bat besterik ez zen, eta geometriako teoremak gainontzeko egitate zientifikoekin parekatzen zituzten. Beraz, metodo logiko-deduktiboa akatsak ekidin eta ezagutza ordenatzeko bitarteko gisa erabili zuten. Aristotelesen analitika ikuspegi klasikoaren azken adierazpen osatua izan zen.
Axioma, ulerkera klasikoan, bere baitan ebidentea den suposizio bat zen, zientziaren adar askok partekatzen dutena. Hauxe da adibide on bat:
Gauza berdinen kopuru berdina hartzen denean, kopuru berdina lortzen da
Zientzia askoren oinarrian frogarik gabe onartutako zenbait hipotesi daude. Hipotesi horiek postulatu gisa izendatuak izan ziren. Axiomak zientzia askok partekatzen zituzten bitartean, zientzia zehatz bakoitzaren postulatuak ezberdinak ziren. Haien zuzentasuna errealitateko esperientziekin ezartzen da. Izan ere, Aristotelesek ohartarazi zuen zientzia baten edukia ezin zela zuzenki partekatu edo komunikatu, ikasleak postulatuen egiazkotasunaz zalantza baldin badauka[2].
Euklidesen Elementuak lanean era egokian islatzen da ikuspegi klasikoa, postulatu (gure esperientziatik jaiotako zentzu komuneko egitate geometrikoak) zerrenda bat eta ondoren nozio komunen (oinarrizko baieztapenak, bere baitan ebidenteak direnak) aurkezten direlarik:
Postulatuak
1. Posible da edozein puntutatik beste edozein puntutara marra zuzen bat egin edo irudikatzea.
2. Posible da marra bi alboetatik luzatzea.
3. Posible da zirkulu bat deskribatzea edozein erdigune eta edozein erradio hartuta.
4. Angelu zuzen guztiak haien artean berdinak dira
5. ("Postulatu paraleloa") Egia da lerro zuzen bat bi lerro zuzenen gainean ezartzen bada, alde bereko barne angeluak bi angelu zuzen baino gutxiago ematen dutela; bi lerro zuzenak etengabe luzatzen badira alde horretan angelu zuzena baino txikiagoak diren angeluekin gurutzatzen dira.
Nozio komunak edo axiomak
1. Gauza baten berdinak diren gauzak elkarren artean ere berdinak dira.
2. Berdinak berdinekin elkartuz gero, osotasuna ere berdina da
3. Berdinei berdinak kenduz gero, geratzen dena ere berdina da.
4. Haien artean bat egiten duten gauzak haien artean berdinak dira.
5. Osotasuna zatia baino handiagoa da
Garapen Modernoa
Matematikek azken 150 urteetan harturiko irakaspen bat da baieztapen matematiko (axioma, postulatu, proposizio, teorema) eta definizioei esanahia kentzea baliagarria dela. Oinarrizko nozioen edo termino zein kontzeptu mugagabeen beharra edozein ikerketetan aitortu beharra dago. Horrela, ezagutza matematikoa zabaltzen da, esanahi ezberdin ugari hartzeko moduan, eta beraz, testuinguru anitzetan baliagarria suertatuz. Alessandro Padoa, Mario Pieri eta Giuseppe Peano izan ziren mugimendu honetako aitzindariak.
Matematika estrukturalista are harago doa eta aurrez pentsaturiko aplikazio zehatzik gabeko teoria eta axiomak garatzen ditu, taldeen teoria, topologia edo espazio bektorialak esaterako. Axiomaren eta postulatuaren arteko bereizketa desagertzen da hor. Matematikariek eremuko axiomak erabiltzen dituztenean, asmoak oso abstraktuak izan ohi dira. Teoria horren baieztapenak ez dira aplikazio zehatz bati buruz ari; matematikariak erabateko abstrakzioaren baitan lan egiten duelarik. Eremuen adibide ugari daude, eta eremuen teoriak horien guztien inguruko ezagutza zuzena ematen digu. Ez litzateke zuzena izango aipaturiko teoriaren axiomak “frogarik gabe egiazkotzat hartzen diren adierazpenak” direla esatea. Izan ere, eremuko axiomak muga multzo bat dira. Gehiketa eta biderketako edozein sistemak muga horiek gainditzen baditu, sistema horien inguruko informazio gehigarri asko jakiteko moduan egongo ginateke. Matematika modernoak bere oinarriak formalizatzen ditu teoria matematikoak objektu gisa hartuak izateraino, eta matematika bera logikaren adar gisa. Frege, Russell, Poincaré, Hilbert eta Gödel dira garapen honetako zenbait pertsona esanguratsu. Ulerkera modernoan axioma multzo bat formalki formulaturiko edozein adierazpen multzo da, zeinari jarraituz beste baieztapen batzuk ondoriozta daitezkeen; ondorioztatze horretan ongi definituriko arauak aplikatu behar dira. Ikuspegi horretatik, logika beste sistema formal bat baino ez da. Axioma multzo batek irmoa izan behar du, kontraesanetan sartzea ezinezko gertatuz. Halaber, ez du errepikakorra izan behar, beste axioma batzuetatik ondorioztatzen den baieztapen bat ez delarik axioma gisa hartua. Logikari modernoen esperantza zen matematikaren zenbait adar, edo matematika bera oinarrizko axiomen bilduma batetik eratortzea. Programa formalistaren arrakasta bat izan zen Hilberten geometria euklidianoaren formalizazioa, eta axioma horien sendotasunaren demostrazioa. Testuinguru zabalago batean, matematika bere osotasunean Cantor-en multzoen teorian oinarritzeko saiakerak izan ziren. Hala ere, Russellen paradoxak eta antzeko kontraesanek, mota horretako edozein sistema ahula izatearen aukera mahai-gaineratu zuten. 1931n Gödel-el erakutsi zuen posible dela axiomen multzo handi batetik multzo horrekiko independentea den egia bat daraman baieztapen bat ondorioztatzea, eta beraz, proiektu formalista ahulduta geratu zen. Gainera, Peanoren teoria aritmetikoa bezalako teoria baten koherentzia bere baitan frogaezina dela erakutsi zuen. Peanoren aritmetikaren irmotasunean sinistea zentzuduna da, zenbakien sistemarekin sistema formal infinito, baina irisgarri bat asetzen baitu. Dena dela, egun ez dago Zermelo-Fraenkelen axioma modernoen irmotasuna erakusteko modurik. Hortaz, axioma multzo orokor hori ere ezin da matematikaren oinarri azken oinarri gisa hartu.
Beste zientziak
Axiomek ez dute paper esanguratsua bakarrik matematiketan, beste zientzia batzuetan ere, fisika teorikoan bereziki. Isaac Newton-en lan izugarria Euklideren axiometan oinarritua dago, espazioaren eta denboraren harreman ezaren postulatu batekin zabaldia, eta fisikak hor hartzen du lekua edozein momentutan.
1905ean Newton-en axiomak Albert Einstein-en erlatibitate bereziaren axiomengatik ordezkatuak izan ziren, eta beranduago erlatibitate orokorrenengatik. Einstein eta bere jarraitzaileen beste artikulu bat, Niels Bohr-ek kritikatua, mekanika kuantikoaren interpretazioaz ari zen. 1935eko eztabaida hartan Bohr-ek zioen teoria berria probabilistikoa zela eta Einstein-ek determinista. Mekanika kuantikoaren oinarrizko teoriak, hots, eratortzen zen teorema multzoak, antzekoa zirudien. Einsteinek onartu zuen mekanika kuantikoari “ezkutuko aldagaiak” txertatzea nahikoa zela determinismoa ezartzeko. Nolanahi ere, 1964an, John Bell-ek hartu-eman optiko bereziak inplikatzen zituen teorema bat topatu zuen, Einsteinen axiomak eta Bohr-enak erabilita emaitza ezberdinak ematen zituena. Beste hogei urte beranduago, Alain Aspect-ek Bohr-en axiomen (sinpleak dira: teoriak probabilistikoa izan behar du Copenhague-ren interpretazioaren zentzuan) aldeko emaitzak lortu zituen, eta ez Einstein-en aldekoak.
Ondorioz, ez da beharrezkoa Einstein-en axiomak esplizituki aipatzea, batez ere esperimentuen “errealitatea”z edo “kokapena”z ari denean. Dena dela, axiomen papera ezberdina da matematiketan eta aipaturiko zientzietan. Matematiketan ez da axioma bat frogatzen edo ezeztatzen teorema bultzo batekiko; kontua da batez ere axiomen eremu kontzeptualari teoremek jarraipen logikoa ematen diotela. Fisikan, berriz, esperimentuen alderaketa batek zentzua dauka, ezeztaturiko teoria batek aldaketak behar dituen heinean.
Logika Matematikoa
Matematiketan adierazpen bat zuzena izan dadin, abiapuntuko baieztapenetatik (axiomak) ondorioztatua egon behar du edo bere buruaren baitan frogatua izan. Hortaz, axiomak matematikako adar ororen oinarria dira eta haien bidez egiaztatu daiteke edozein adierazpen. Axiometatik ondorioztatzen diren beste baieztapenak teoremak dira
Matematikaren adar asko axiomatizatuak daude, hau da, egitate edo baieztapen guztiak egiazko bihurtzen dituzten oinarrizko axioma multzo bat daukate. Esate baterako, Peanoren axiomak adibide ona dira, aritmetika osoa oinarritzen dutelarik, eta beraz, matematikaren beste zati batzuk.
Hemen bi axioma mota bereizten dira, logikoak eta ez logikoak.
Axioma logikoak
Hizkuntza formaleko formula batzuk dira, unibertsalki baliagarriak, hau da, edozein baliorekin zuzenak direna. Normalean gutxieneko tautologia multzo bat axioma logiko gisa hartua da, hizkera horretako tautologia guztiak frogatzen dituena; predikatuen logikaren kasuan, zentzu hertsian tautologiak ez diren egia logikoak baieztatzeko baino axioma logiko gehiago behar dira. Logika proposizionala eta lehen mailako ordenako logika dira pare bat adibide.
Axioma ez logikoak
Axioma ez logikoek teoriaren suposizio espezifikoen papera betetzen dute. Bi egitura ezberdinen inguruko arrazoiketak, zenbaki naturalena eta osoena adibidez, axioma logiko berdinak inplika ditzake; axioma ez logikoek, aldiz, egitura bakoitzaren (edo egituren talde baten) berezitasunak bildu nahi dituzte. Hortaz, axioma ez logikoak ez dira tautologiak, logikoen antzera. Axioma ez logikoei ezartzen zaien beste izen bat postulatua da.
Teoria matematiko moderno gehienak aurrez ezarritako axioma ez logikoen multzo batetik abiatzen dira, eta uste izan da teoria guztiak modu horretan axiomatizatuak izan zitezkeela eta formula logikoen hizkera sinplearen bidez formalizatuak. Axioma ez logikoak askotan soilik axioma gisa izendatuak dira diskurtso matematikoan. Horrek ez du esan nahi era absolutuan egiazkotzat hartuak direnik. Adibidez, multzo batzuetan operazioak konmutatiboak dira (hartu emanekoak) eta horia axioma osagarri bat txertatuz egiazta daiteke, baina hura gabe ere multzoaren teoria era egokian garatu daiteke. Are gehiago, haren ukapena talde ez konmutatiboen azterketarako axioma gisa har daiteke.
Beraz, axioma bat logika sistema formal baten funtsezko oinarria da, dedukziorako legeekin batera dedukzio sistema osoa osatzen dutelarik. Hemen adibide gisa jar daitezke aritmetika, Euklideren geometria eta analisi erreala.
Beste eztabaida batzuk
Lehen matematikariek geometria axiomatikoa espazio fisikoaren eredu gisa kontsideratu zuten, eta, jakina, horrelako eredu bakarra egon zitekeen, ez gehiago. Sistema matematiko alternatiboen existentziaren ideia oso kezkagarria izan zen XIX. mendeko matematikarientzat eta Booleren aljebra bezalako sistemen garatzaileek aritmetika tradizionaletik eratortzeko ahaleginak egin zituzten. Galoisek, hil aurretik, erakutsi zuen ahalegin horiek alferrikakoak izan zirela. Azken finean, sistema aljebraikoen arteko paralelo abstraktuak xehetasunak baino garrantzitsuagoak ziren eta aljebra modernoa jaio zen. Ikuspegi modernoan, axiomak edozein formula multzo izan daiteke, betiere irmoak ez direla ezaguna ez badira.
Sistema axiomatikoen mugak
XX. mendearen erdialdean, Kurt Gödelek bere osatu gabekotasunaren teoremak frogatu zituen. Teorema hauei esker erakutsi zuen errekurtso-axiomen sistema bat ondo definitua eta koherentea izan arren, axioma sistema horiek barnebiltzen zituen sistema axiomatikoek muga larriak izaten dituztela.
