Arku kapaz
Arku kapaza, geometrian, zirkulu baten barruan inskribatutako angelua da, bi korda zirkunferentzia bateko puntu batean gurutzatzen direnean eratzen dena. Honela ere definitu daiteke: zirkuluaren puntu batean bi puntuz azpiratuta sortutako angelua.
Modu baliokidean, angelu inskribatua zirkuluaren bi kordek definitzen dute, azken puntua partekatzen dutenak.
Inskribatutako angeluaren teoremak angelu inskribatuaren neurria eta arku bera azpiratzen duen erdiko angeluarena erlazionatzen ditu.
Inskribatutako angeluaren teorema 20. Proposizio gisa agertzen da Euklidesen Elementuak.
Teorema
Azalpena
Inskribatutako angeluen teoremak dio zirkulu batean inskribatutako angelu bat zirkuluaren gainean arku bera azpiratzen duen erdiko angeluaren erdia dela. Beraz, angelua ez da aldatzen erpina zirkuluaren posizio ezberdinetara mugitzen den heinean.
Angelu inskribatuak non akorde bat diametro bat den:
Izan bedi zirkulu baten erdigunea, diagraman bezala. Aukeratu zirkuluaren bi puntu, eta deitu V eta A. Vo lerroa marraztu eta Oo pasa, V. puntuaren aurrez aurre dagoen B puntuko zirkulua gurutzatzeko moduan.
Marraztu OA linea. BOA angelua erdiko angelua da. OV eta OA lerroak zirkuluaren erradioak dira, beraz, luzera berdinak dituzte. Beraz, VOA triangelua isoszeleak dira, eta, beraz, BVA angelua (inskribatutako angelua) eta VAO angelua berdinak dira;
BOA eta AOV angeluak 180° dira, VB lerroa O-tik igarotzen baita. Beraz, AOV angeluak 180° neurtzen du. Eskolioa.
Gauza jakina da triangeluaren hiru angeluek 180º osatzen dutela, eta VOA triangeluaren hiru angeluak hauek direla:
- 180° − θ
- ψ
- ψ.
Therefore,
Subtract
from both sides,
non erdiko angelua AB arku subtenentea den eta AB arku subtenentea den.
Zirkuluaren erdigunea barruan duten angeluak erdigunetik angelura:
O puntua duen zirkulu batean, aukeratu hiru puntu V, C eta D zirkuluan. Marraztu VC eta VD lerroak: DVC angelua inskribatutako angelu bat da. Orain VO lerroa marraztu eta O puntua luzatu, zirkulua E puntuan gurutzatzeko. DVC angeluak DC arkua azpiratzen du zirkuluaren gainean.
Demagun arku honek E puntua barne hartzen duela. E puntua V. puntuaren guztiz kontrakoa da. DVE eta EVC angeluak ere inskribatuta daude, baina bi angeluek zirkuluaren erditik pasatzen den alde bat dute, eta, beraz, aurreko 1. Zatitik datorren teorema aplika dakieke.
Beraz,
Orduan utzi,
Beraz,
Marraztu OC eta OD lerroak. DOC angelua erdiko angelua da, baina DOE eta EOC angeluak ere bai, eta
Zirkuluaren erdigunea kanpoaldean duten angeluak:
Aurreko kasua zabal daiteke, baldin eta inskribatutako angeluaren neurria bi angelu inskribatuen arteko aldea bada, froga honen lehen zatian aipatu bezala.
O puntua duen zirkulu batean, aukeratu hiru puntu V, C eta D zirkuluan. Marraztu VC eta VD lerroak: DVC angelua inskribatutako angelu bat da. Orain VO lerroa marraztu eta O puntua luzatu, zirkulua E puntuan gurutzatzeko. DVC angeluak DC arkua azpiratzen du zirkuluaren gainean. Demagun arku honek ez duela E puntua bere baitan hartzen. E puntua V. puntuaren guztiz kontrakoa da. EVD eta EVC angeluak ere inskribatuta daude, baina bi angeluek zirkuluaren erditik pasatzen den alde bat dute, eta, beraz, aurreko 1. Zatitik datorren teorema aplika dakieke.
Korolarioa
Antzeko argumentu batez, akorde baten eta bere elkarguneetako batean tangente-lerroaren arteko angelua akordeak azpiraturiko erdiko angeluaren erdia da. Ikusi, gainera, Tangente zirkuluetarako lerroak.
Aplikazioak
Inskribatutako angeluen teorema planoaren oinarrizko geometria euklidearraren froga askotan erabiltzen da. Teoremaren kasu berezi bat Talesen teorema da, diametro batek azpiratutako angelua beti 90º-koa dela dioena, hau da, angelu zuzena. Teoremaren ondorioz, lauki ziklikoen angelu kontrajarriak 180 gradukoak dira; alderantziz, hau egia den edozein lauki zirkulu batean inskriba daiteke. Beste adibide bat bezala, inskribatutako angeluen teorema puntu batek zirkuluarekiko duen ahalmenarekin zerikusia duten zenbait teoremaren oinarria da. Gainera, bi akorde zirkuluan gurutzatzen direnean, piezen luzeraren produktuak berdinak direla frogatzeko aukera ematen du.
Angeluen teoremak elipseentzat, hiperbolentzat eta parabolentzat
Elipse, hiperbolas eta parabolentzat ere badaude inskribatutako angeluen teoremak. Funtsezko aldeak angelu baten neurriak dira. (Angelua bi lerro gurutzatzailetzat hartzen da).
Erreferentziak
- Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. Dover. pp. 17-23. ISBN 0-486-26530-7.
- Gellert W, Küstner H, Hellwich M, Kästner H (1977). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. New York: Van Nostrand Reinhold. p. 172. ISBN 0-442-22646-2.
- Moise, Edwin E. (1974). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (2nd ed.). Reading: Addison-Wesley. pp. 192–197. ISBN 0-201-04793-4
