Aritmetikaren oinarrizko teorema

Zenbaki oso positibo guztiak n>1 zenbaki lehenen potentzien arteko produktu bezala adieraz daitezke, eta, adierazpen hori, bat eta bakarra izango da

${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}:}$

P1 p2... Pk lehenak dira eta αi positibo osoak dira.

Adierazpen honi, adierazpen kanonikoa deritzo 

Teoremak zenbaki lehenen garrantzia ezartzen du. Edozein oso positibo adieraz daiteke zenbaki lehenen arteko produktu bezala modu edo adierazpen bakar batean.

Zenbaki baten faktorizazioa ezagutzeak zenbaki horren zatitzaile guztiak erakusten dizkigu, lehenak eta konposatuak. Adibidez, 6936 = ${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot {17}^{2}}$ kontuan izanik, badakigu, 6936 en edozein zatitzaile positibok honako forma izan behar duela: ${\displaystyle 2^{a}\cdot 3^{b}\cdot {17}^{c}}$ non 0 ≤ a ≤ 3 (4 balio posible), 0 ≤ b ≤ 1 (2 balio posible) eta 0 ≤ c ≤ 2 (3 balio posible). Balio posibleen arteko biderketa eginez zatitzaile posibleen kopurua lor dezakegu: 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 zatitzaile posible. Azkeneko hori aintzat hartuz, mkt multiplo komunetan txikiena eta zkh zatitzaile komun handiena lortzea erreza da. Adibidez, lehengo faktorizazioak hartuz gero, 1200 eta 6936, jakin daiteke beraien arteko zkh 23⋅ 3=24dela. Dena dela, ez badakigu zein den zenbakien faktorizazioa, Euklidesen algoritmoa erabiltzea errazagoa da bi zenbakiak faktorizatzea baino.

Frogapena bi urratsetan egiten da. Lehen urratsean, frogatzen da zenbaki guztiak zenbaki lehenen arteko produktu gisa lor daitezkeela. Bigarren urratsean, frogatzen da bi adierazpenak baliokideak direla.

Kontsideratuko dugu existitzen dela zenbaki oso positibo bat ezin dena zenbaki lehenen arteko produktu bezala adierazi. Orduan, n zenbaki minimo bat egon behar du propietate horrekin. N zenbaki hau ezin daiteke 1 izan, lehen aipatutakoagatik. Eta n ezin daiteke zenbaki lehena izan, zenbaki lehenak beraien buruen produktu direlako.

Zenbaki lehena ez denez, definizioz existitzen da beste zenbaki bat, aurreko zenbakia zatituko duena, eta ez dena 1 edo zenbakiaren berdina. Zenbaki horri a deituko diogu. Beraz, definizioz existituko da b zenbaki bat non n=ab

Beraz, n=ab non a eta b zenbaki oso positiboak diren (n baino txikiagoak). N zenbakia zenbaki lehenen arteko produktu bezala ezin daitekeela adierazi kontsideratu dugu, baina badakigu a eta b zenbaki lehenen arteko produktu gisa adieraz daitezkeela. Beraz n=ab ere zenbaki lehenen arteko produktu gisa adierazteko ahalmena izan beharko luke. Ondorioz, kontraesan batera iristen gara.

Bakartasunaren frogapena ondorengo kasuan bermatzen da: p zenbaki lehen batek ab produktu bat zatitzen badu, orduan p-k, a edo b zatitzen du(Euklidesen lema). Lema hau frogatzeko, suposatzen badugu p-k a ez duela zatitzen,orduan , p eta a lehen erlatiboak dira eta Bézouten identitateagatik x eta y osoak existitzen dira non px+ay=1. B-z biderkatuz bpx+aby=b lortzen dugu, eta ezkerreko aldeko bi batugaiak p-z zatitu daitezkeenez eskuineko zatia ere p-z zatitu daiteke.

Emaitza bereko zenbaki lehenen bi produktu izanik, lehen produktuko p lehena hartuko dugu. P-k lehen produktua zatitzen du, eta beraz, bigarrena ere zatitzen du. P-k gutxienez bigarren produktuko faktore bat zatitu behar du; baina faktore guztiak lehenak dira, beraz p bigarren produktuko faktore baten berdina izan behar du. Ondorioz, p kendu daiteke bi produktuetatik. Sistema hau segiz bi produktuetako faktore guztiak kenduko dira.

Demagun, zenbaki oso bat (gutxienez) bi modu ezberdinetan faktoriza daitekeela. Beraz, zenbaki oso minimo batek existitu behar du S propietate hori duena. Izan bitez P1..PM eta Q1..QN S-ren bi faktorizazio ezberdin. Pi (non 1 ≤ i ≤ m) balioek ezin dute Qj (non 1 ≤ j ≤ n)-ren berdinak izan, bestela S baino txikiagoa den zenbaki bat existituko litzateke eta zenbaki hori bi modutara faktorizatuko litzateke, lehen egindako suposaketarekin kontraesan batera iritxiz. Hori kontuan izanda, suposa daiteke orokortasun galera gabe, p1 faktore lehena dela eta qj (non 1 ≤ j ≤ n) guztiak baina txikiagoa. Beraz, existitzen dira d eta r zenbaki osoak non:

${\displaystyle {q_{1} \over p_{1}}=d+{r \over p_{1}}:}$

Eta 0<r<p1<q1 (r-k ezin du 0 izan, bestela q1 p1 en multiploa izango litzatekeelako, konposatua izanik). Alde biak S/q1-rekin biderkatuz gero:

${\displaystyle p_{2}\ldots p_{m}=\left(d+{r \over p_{1}}\right)q_{2}\ldots q_{n}=d\cdot q_{2}\ldots q_{n}+{r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}}.:}$

Azken adierazpeneko bigarren terminoak zenbaki oso baten berdina izan behar du (beste terminoak ere osoak baitira), non k izena hartuko duen ; hau da,

${\displaystyle k={r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}},:}$

Hau lortzen da,

${\displaystyle p_{1}\cdot k=r\cdot q_{2}\ldots q_{n}.:}$

Ekuazioko bi aldeetako balioak S baino txikiagoak dira, baina oraindik ez da lehena, hau da, faktorizatu daiteke. R p1 baino txikiagoa denez bi aldeetan lortutako faktorizazioak k eta r zenbaki lehenen produktu gisa ezberdinak izan behar dute. Honek kontraesan batera eramaten gaitu, s ez da zenbaki oso txikiena modu bat baino gehiagotan faktoriza daitekeena. Hori dela eta, hasierako suposizioa gezurra da

Izan bedi n zenbaki osoa, non Zn talde mugatu bat den eta osaketa serie bat duen. Definizioz, osaketa serie batean faktoreak sinpleak dira ; hortaz, Zn-ren seriean hauek ZP formakoak izan behar dute p lehen batentzat. Zn-ren ordena osaketa serieko faktoreen ordenen biderkadura den bezala, honek n-ren faktorizazio bat ematen du zenbaki lehenetan. Baina Jordan-hölderren teoremak baieztatzen du osaketa serie bat bakarra dela, eta hortaz n-ren faktorizazioak bakarra izan behar du.