Antzekotasun (geometria)

Bi irudi geometrikoen arteko antzekotasuna defini daiteke lehen irudiko ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ bi puntuen arteko distantzia zati bigarren irudiko dagozkien ${\displaystyle A'}$ eta ${\displaystyle B'}$ puntuen arteko distantzia konstantea denean, eta balio horrek antzekotasun-arrazoia du izena:

${\displaystyle {\frac {\;{\overline {A'B'}}\;}{\;{\overline {AB}}\;}}=\alpha }$

Ikus daitekeenez, irudiko distantzia guztiek proportzionaltasun bera atxikitzen dute, eta angeluak aldiz ez dira aldatzen.

Antzekotasuna errotazioen, traslazioen, islapenen eta homotezien konposizio gisa adierazten da. Beraz, antzekotasunak irudi baten tamaina eta orientazioa alda ditzake, baina forma ez.

Bi propietate baliokide hauek ondoko ekuazioan elkartzen dira:

${\displaystyle (ABC\sim A'B'C')\Longleftrightarrow {\begin{Bmatrix}{\widehat {A}}={\widehat {A}}'\\{\widehat {B}}={\widehat {B}}'\\{\widehat {C}}={\widehat {C}}'\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow \left({\frac {\overline {A'B'}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {A'C'}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {B'C'}}{\overline {BC}}}\right)}$

Bi triangelu, △ABC eta △A'B'C', antzekoak dira, baldin eta dagokien angeluek neurri bera badute: horrek esan nahi du antzekoak direla, baldin eta dagozkien aldeen luzerak proportzionalak badira. Froga daiteke angelu kongruenteak (triangelu ekiangeluarrak) dituzten bi triangelu antzekoak direla, hau da, dagozkien aldeak proportzionalak izan daitezkeela. Horri AAA antzekotasun-teorema esaten zaio. Kontuan izan behar da "AAA" mnemoteknikoa dela: hiru A horietako bakoitza "angelu" bati dagokio. Teorema horren ondorioz, zenbait autorek sinplifikatu egiten dute antzeko triangeluen definizioa, soilik hiru angeluak kongruenteak izatea eskatzeko[1].

Zenbait irizpide daude, eta horietako bakoitza beharrezkoa eta nahikoa da bi triangelu antzekoak izateko:

• Edozein angelu kongruente, geometria euklidianoan bere hiru angeluak kongruenteak direla adierazten duena:
• Baldin eta ∠BAC balioa berdina bada B ρA ρC graduko tamainan, eta ∠ABC balioa berdina bada A ρB graduko C graduko tamainan, horrek esan nahi du ∠ACB balioa berdina dela A graduko B graduko graduko tamainan eta triangeluak antzekoak direla.

• Dagozkion alde guztiak proportzionalak dira:

• Bi aldeak proportzionalak dira, eta alde horien artean sartutako angeluak kongruenteak dira:

Horri SAS antzekotasun-irizpidea deitzen zaio. "SAS" mnemonikoa da: bi S horietako bakoitza "alde" bati dagokio (ingelesezko side hitzetik); A bi aldeen arteko "angelu" bati dagokio.

Sinbolikoki, bi triangeluren antzekotasuna eta antzekotasun eza (ABC eta A'B'C) honela idazten dugu: 

${\displaystyle ABC\sim A'B'C'}$

${\displaystyle ABC\nsim A'B'C'}$

Geometria euklidianoan antzeko triangeluei buruzko oinarrizko zenbait emaitza daude[2]:

• Bi triangelu aldeberdinak antzekoak dira.
• Bi triangelu, biak hirugarren triangelu baten antzekoak, elkarren antzekoak dira (triangeluen antzekotasunaren iragankortasuna).
• Antzeko triangeluei dagozkien altitudeek dagozkien aldeen proportzio bera dute.
• Bi triangelu zuzen antzekoak dira hipotenusak eta beste aldeak luzera bera badute. Kasu honetan, zenbait baldintza baliokide daude, hala nola neurri bereko angelu zorrotza duten triangelu zuzenak, edo aldeen luzerak proportzio berean dituztenak.

ABC triangelu angeluzuzen bat eta DE lerro segmentu bat emanda, erregela eta konpasa erabiliz, F puntu bat aurki dezakezu non, Baldintza hori betetzen duen F puntua Wallisen postulatua dela dioen baieztapena Euklidesen postulatu paraleloaren baliokidea da, noski. Geometria hiperbolikoan (Wallisen postulatua faltsua denean), antzeko triangeluak kongruenteak dira.

Birkhoff-ek emandako geometria euklidianoaren tratamendu axiomatikoan (ikus Birkhoff-en axiomak), lehenago emandako SAS antzekotasun-irizpidea erabili zen, bai Euklidesen Postulatu Paraleloa bai SAS axioma ordezteko; horri esker, Hilbert-en axiomak modu nabarmenean laburtu ziren.

Antzeko triangeluek geometria euklidianoan proba sintetiko askoren oinarria ematen dute (koordenaturik erabili gabe). Horrela froga daitezkeen oinarrizko emaitzen artean daude: teorema bisektoriala, batezbesteko geometrikoaren teorema, Cevaren teorema, Menelaoren teorema eta teorema pitagorikoa. Antzeko triangeluek triangelu zuzenaren trigonometriaren zimenduak ere ematen dituzte.

• Kongruentzia (geometria)
• Proportzionaltasun (matematika)