Analisi matematiko

Matematikan espazio metrikoa multzo batek, ${\displaystyle X}$, eta bertako elementuen arteko distantzia (metrika) definitzen duen funtzio batek, ${\displaystyle d}$, osatzen dute. Zehazki, ${\displaystyle (X,d)}$ bikotean multzoa ez-hutstzat hartzen da (${\displaystyle X\not =\emptyset }$) eta ${\displaystyle d}$ distantzia funtzioak

${\displaystyle d\colon X\times X\rightarrow \mathbb {R} ,}$

ondorengo propietateak izan behar ditu:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$, eta ${\displaystyle d(x,y)=0}$ baldin eta soilik baldin ${\displaystyle x=y}$,
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (simetria),
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (desberdintza triangeluarra).

Analisi matematikoak espazio metrikoetan definituriko funtzioak aztertzen ditu; espazio metriko erabilienak zuzen erreala, plano konplexua, espazio euklidearra edo bektore espazioak izanik.

Segida ${\displaystyle (a_{n})}$ zerrenda ordenatua da ${\displaystyle (a_{n}):=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots }$, non segidako elementuen ordenak garrantzia du eta elementu berdinak hainbat aldiz ager daitezke segidako posizio ezberdinetan. Segida baten propietate garrantzitsuenetako bat konbergentzia da; informalki, segida batek limitea duela diogu sekuentziako elementuak puntu batera hurbiltzen badira. Notazio matematikoan:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$.

Aurreko ekuazioa formalki definitu daiteke segida errealentzat, non ${\displaystyle (a_{n})}$ segidak ${\displaystyle a}$ elementua limitetzat duela esaten dugun, edozein zenbaki erreal ${\displaystyle \varepsilon >0>}$ harturik, ${\displaystyle N>0}$ existitzen den, non ${\displaystyle n>N}$ bada, orduan ${\displaystyle |a-a_{n}|<\varepsilon }$. Definizioa edozein metrikatan definituriko segidetara orokortu dezakegu balio absolutu distantzia metrikako distantziaz ordezkatuz.

Balio errealdun funtzioen limiteak ere antzera definitu ditzakegu. ${\displaystyle f}$ funtzioak ${\displaystyle L}$ duela limitetzat ${\displaystyle c}$ zenbaki errealean diogu,

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$,

notazioa erabiliz, formalki:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\colon |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon .}$

Kontuan hartu baditekeela funtzio batek punturen batean limiterik ez izatea, honelako kasuetan limitea ez dela existitzen diogu.

Emanik ${\displaystyle f}$ funtzioa, ${\displaystyle a}$ puntuan deribagarria dela esaten dugu, hondorengo limitea existitzen bada:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.}$

Emanik ${\displaystyle f}$ funtzioa eta ${\displaystyle (a,b)}$ zuzen errealaren tarte bat, funtzioa tarte honetak integragarria dela dela esaten dugu, funtzioak definituriko grafoaren eta ardatz horizontalaren arteko area, zerrenda bertikal meheen limitetzat definiturik, existiten bada:

${\displaystyle \int _{x=a}^{b}f(x)\ dx=\lim _{\delta \to 0}\delta \sum _{n=0}^{[(b-a)/\delta ]}f(a+n\delta ).}$

Analisi errealak zenbaki errealak eta balio errealdun funtzioak aztertzen ditu. Bereziki, funtzio eta segida errealen propietate analitikoak jorratzen ditu, hala nola; zenbaki errealen serieen konbergentzia eta limiteak, balio errealdun funtzioen jarraitutasuna, deribagarritasuna eta erlazionatutako propietateak.

Analisi konplexua aldagai konplexudun funtzioak ikertzen ditu. Aldagai konplexudun funtzio deribagarriak (funtzio holomorfikoak deituak) beren Taylor seriearen berdinak direnez (hau da, analitikoak), analisi konplexua funtzio analitikoez arduratzen da bereziki. Matematikaren adar askotan erabilgarria da, besteak beste, geometria aljebraikoan, zenbakien teorian, matematika aplikatuan; baita fisikan ere, fluidoen dinamikan, termodinamikan, ingeniaritza elektrikoan eta, bereziki, eremu-teoria kuantikoan.