Vektora kampo donita per vektoroj de formo (-y, x)

En matematiko vektora kampo estas funkcio, argumento de kiu estas vektoro kaj rezulto de kiu estas vektoro de la sama spaco (kutime estas konsiderata eŭklida spaco).

Vektoraj kampoj estas ofte uzitaj en fiziko por priskribi iun vektoran valoron en ĉiuj punktoj de iu volumeno. Ekzemple por priskribi rapidon kaj direkton de fluo de likvaĵo, aŭ por priskribi fortecon kaj direkton de magneta aŭ gravita forto.

En matematiko, vektoraj kampoj estas difinitaj sur sternaĵoj.

Krom vektoraj kampoj estadas skalaraj kampoj, kiuj asociigas nombron aŭ skalaron al ĉiu punkto de la spaco (aŭ ĉiu punkto de sternaĵo).

La diferenco inter skalara kaj vektora kampoj estas ne nur tio ke skalaro estas nur unu nombro kaj vektoro estas kelkaj nombroj. La diferenco estas ankaŭ en tio kiel la valoroj de la kampoj reagas al transformoj de koordinatosistemo. Skalaro estas nombro kaj vektoro nur povas esti priskribita per koordinatoj, sed ĝi ne estas la kolekto de ĝia koordinatoj. Do, dum turno de la koordinatosistemo, nombraj valoroj de vektora kampo devas esti rekalkulitaj.

Ekzemple, estu 2-dimensia spaco kaj tie estu konstanta vektora kampo egala al (1,0) en ĉiu punkto. Se turni la koordinatosistemon je 90 gradoj laŭhorloĝnadle, en la nova koordinatosistemo la kampo estos egala al (0,1) en ĉiu punkto.

La diverĝenco kaj kirlo estas du operacioj sur vektora kampo kies rezultoj estas skalara kampo kaj la alia vektora kampo respektive. Diverĝenco estas difinita en ĉiu kvanto de dimensioj. Frizo estas difinita nur por 3 dimensioj, sed ĝi povas esti ĝeneraligita al ajna dimensio per uzo de la ekstera produto kaj eksteraĵa derivaĵo.

Gradienta kampo

Vektora kampo povas esti konstruita el skalara kampo kiel gradiento.

Vektora kampo V estas gradienta kampo aŭ konservativa kampo se ekzistas tia skalara kampo f ke V estas gradiento de f: ${\displaystyle V=\nabla f.}$

La voja integralo laŭ ĉiu fermita kurbo γ (γ(0) = γ(1)) en gradienta kampo estas nulo.

${\displaystyle \int _{\gamma }\langle V(x),\mathrm {d} x\rangle =\int _{\gamma }\langle \nabla f(x),\mathrm {d} x\rangle =f((\gamma )(1))-f((\gamma )(0))}$

Kurba integralo

Estadas uzata integralado de vektora kampo laŭ kurbo, ĉi tio estas voja integralo. Por donita partiklo en gravita vektora kampo, kie ĉiu vektoro prezentas la forton agantan sur la partiklo je ĉi tiu punkto en spaco, la kurba integralo estas la laboro farata sur la partiklo kiam ĝi vojaĝas laŭ la vojo.

La kurba integralo estas konstruita analoge al la rimana integralo kaj ĝi ekzistas se la kurbo estas rektifebla (havas finian longon) kaj la vektora kampo estas kontinua.

Por donita vektora kampo V kaj kurbo γ parametrigita per [t₀, t₁] la kurba integralo estas difinita kiel

${\displaystyle \int _{\gamma }\langle V(x),\mathrm {d} x\rangle =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\langle V(\gamma (t)),\gamma '(t)\;\mathrm {d} t\rangle }$

Kelkaj simplaj reguloj por kalkulo de kurbaj integraloj estas:

${\displaystyle \int _{\gamma }\langle (\mathbf {F} +\mathbf {G} )(\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle =\int _{\gamma }\langle \mathbf {F} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle +\int _{\gamma }\langle \mathbf {G} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle }$

${\displaystyle \int _{\gamma }\langle \alpha \cdot \mathbf {F} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle =\alpha \cdot \int _{\gamma }\langle \mathbf {F} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle }$

${\displaystyle \int _{-\gamma }\langle \mathbf {F} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle =-\int _{\gamma }\langle \mathbf {F} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle }$

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}+\gamma _{2}}\langle \mathbf {F} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle =\int _{\gamma _{1}}\langle \mathbf {F} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle +\int _{\gamma _{2}}\langle \mathbf {F} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle }$

kie -γ estas la sama kurbo γ sed trapasata en la mala direkto.

Vidu ankaŭ

• Skalara kampo
• Tensora kampo
• Vektora kalkulo
• Diferenciala geometrio de kurboj
• Tempo-dependa vektora kampo
• Vektoraj kampoj en cilindraj kaj sferaj koordinatoj

Eksteraj ligiloj

• Vektora kampo en Mathworld
• Vektora kampo Arkivigite je 2005-02-17 per la retarkivo Wayback Machine en PlanetMath
• 3D magnetaj kampoj
• Vektoraj kampoj kaj kampaj linioj Arkivigite je 2010-06-23 per la retarkivo Wayback Machine