En geometrio, unuforma hiperpluredro estas vertico-transitiva hiperpluredro farita el unuformaj hiperpluredraj facetoj. Unuforma hiperpluredro devas ankaŭ havi nur regulajn plurlaterajn edrojn.

Samformeco estas ĝeneraligo de la pli malnova kategorio duonregula, sed ankaŭ inkluzivas la regulajn hiperpluredrojn. Plu, nekonveksaj regulaj edroj kaj verticaj figuroj (stelaj plurlateroj) estas permesitaj, kio grande elvolvi la aron de konsiderataj formoj. Severa difino postulas ke unuformaj hiperpluredroj estu finiaj. Pli ĝeneraliga difino permesas al unuformaj kahelaroj de eŭklida spaco kaj hiperbola spaco al esti konsiderataj kiel hiperpluredroj.

Proksime ĉiuj unuformaj hiperpluredroj povas esti generitaj per konstruo de Wythoff kaj prezentitaj per figuro de Coxeter-Dynkin.

Operacioj

Ankaŭ iuj operacioj povas esti uzataj por konstrui unuformajn hiperpluredrojn.

Rektigoj

Regula n-dimensia hiperpluredro havas n gradojn de rektigo, kiu produktas unuforman rezulton.

  • La nula rektigo estas la originala formo.
  • La unua rektigo malpligrandigas laterojn al la novaj verticoj.
  • La dua rektigo malpligrandigas edrojn al la novaj verticoj.
  • La tria rektigo ĉeloj al la novaj verticoj.
  • ...
  • La n-a rektigo estas la duala hiperpluredro.

Etendita simbolo de Schläfli kun sola suba indico povas esti uzata por priskribi rektigitajn formoj. La k-a rektigo estas skribata kiel tk{p1, p2, ..., pn-1}

Tranĉoj

Regulaj n-hiperpluredroj havas n-1 variantojn de tranĉoj kiuj povas esti aplikitaj en ĉiu kombinaĵo, kaj kiu povas krei novaj unuformaj hiperpluredroj. Tiel entute estas 2n-1 variantoj kune kun la fonta formo.

Apartaj tranĉoj estas:

Se ĉiuj tranĉoj estas aplikita senprokraste la operacio povas esti pli ĝenerale (nomita, vokis) entutotranĉo.

Etendita simbolo de Schläfli kun pluraj subaj indicoj povas esti uzata por priskribi tranĉitajn formoj. En ĝi nepre estas indico 0 kaj la aliaj en ajnaj kombinaĵoj. Ekzemple edroverticotranĉo estas t0, 1, 3{p1, p2, ..., pn-1}.

Rektigoj kaj tranĉoj

Rektigoj kaj tranĉoj povas esti konsiderataj kune kaj eble aplikataj kune.

Etendita simbolo de Schläfli kun pluraj subaj indicoj povas esti uzata por priskribi ĉi tiajn formoj. En ĝi nepre estas almenaŭ unu indico. Tiel entute estas 2n-1 variantoj kune kun la fonta formo.

Apliko de la operacioj estas ekvivalenta al dismeto de ringitaj verticoj en figuro de Coxeter-Dynkin.

Alternado

Alternado estas operacio kiu forprenas alternajn verticojn de hiperpluredro. Ĝi povas esti farira nur se ĉiu edro havas paran kvanton de verticoj.

Riproĉigo estas alternado aplikita al entutotranĉita hiperpluredro; la rezulto de entutotranĉo ĉiam havas paran kvanton de verticoj ĉe ĉiu edro.

La rezultanta hiperpluredro ĉiam povas esti konstruita, sed estas ne nepre memspegulsimetria. Ankaŭ, la rezulto estas ĝenerale ne unuforma, sed ĝi ofte povas esti misformigita tiel ke ĝi ekestu unuforman.

Klasoj de hiperpluredroj laŭ dimensio

  • Unuformaj plurĉeloj
    • Konveksaj
      • 6 konveksaj regulaj plurĉeloj
      • 41 neprismaj konveksaj unuformaj plurĉeloj;
      • 18 konveksaj hiperprismoj bazita sur la platonaj kaj arĥimedaj solidoj (inkluzivante la kubo-prismon, kiu estas la regula 4-hiperkubo);
      • Malfinia aro de hiperprismoj bazitaj sur la konveksaj kontraŭprismoj;
      • Malfinia aro de konveksaj duprismoj - karteziaj produtoj de du konveksaj regulaj plurlateroj
    • Nekonveksaj
      • 10 nekonveksaj regulaj plurĉeloj (plurĉeloj de Schläfli-Hess)
      • 57 nekonveksaj hiperprismoj bazitaj sur la nekonveksaj unuformaj pluredroj;
      • Nekonata kvanto de nekonveksaj neprismaj unuformaj plurĉeloj (pli ol mil jam estas trovitaj);
      • Malfinia aro de hiperprismoj bazita sur la nekonveksaj kontraŭprismoj;
      • Malfinia aro de nekonveksaj duprismoj - karteziaj produtoj de konveksa regula plurlatero

kaj stela plurlatero.

      • Malfinia aro de nekonveksaj duprismoj - karteziaj produtoj de du stelaj plurlateroj.

Pli alte dimensiaj unuformaj hiperpluredroj estas ne plene sciata. Plej parto povas esti generita per konstruo de Wythoff aplikita al la regulaj formoj.

Familioj de konveksaj unuformaj hiperpluredroj

Regulaj n-hiperpluredraj familioj estas la simplaĵoj, hiperkuboj, kaj kruco-hiperpluredroj.

La duonvertica hiperkuba familio, derivita de la hiperkuboj per forprenado de alternaj verticoj, inkluzivas la regulan kvaredron derivitan de la kubo kaj la regulan 16-ĉelo derivita de la 4-hiperkubo. Pli altaj membroj de la familio estas unuformaj sed ne regulaj, komence kun 5-duonvertica hiperkubo derivita de la 5-hiperkubo.

Estas ankaŭ familioj de unuformaj k21 hiperpluredroj, unuformaj 2k1 hiperpluredroj, unuformaj 1k2 hiperpluredroj.

Noto ke la familioj en ĉi tiu senco ne estas apartaj, iuj formoj apartenas al kelkaj familioj.

Familioj de konveksaj unuformaj hiperpluredroj laŭ grupoj de Coxeter

Familioj de konveksaj unuformaj hiperpluredroj estas difinitaj per grupoj de Coxeter. Prismoj estas difinitaj per produtoj de ĉi tiuj grupoj.

Listo de la familioj, supren ĝis 8-hiperpluredroj, estas donita pli sube.

La figuro de Coxeter-Dynkin estas donita por la unua formo en ĉiu familio. Ĉiu kombinaĵo de ringoj, kun ĉiu prisma grupo havanta almenaŭ unu ringon, produktas unuforman hiperpluredron.

1-hiperpluredroj

2-hiperpluredroj

    1. D2p: [p] opo

3-hiperpluredroj

    1. A3: [3, 3] o3o3o
    2. C3: [4, 3] o4o3o
    3. G3: [5, 3] o5o3o
    4. D2pxA1: [p] x [ ] opo2o

4-hiperpluredroj

    1. A4: [3, 3, 3] o3o3o3o
    2. C4: [4, 3, 3] o4o3o3o
    3. F4: [3, 4, 3] o3o4o3o
    4. G4: [5, 3, 3] o5o3o3o
    5. B4: [31, 1, 1] o3/003o
    6. A3xA1: [3, 3] x [ ] - o3o3o2o
    7. C3xA1: [4, 3] x [ ] - o4o3o2o
    8. G3xA1: [5, 3] x [ ] - o5o3o2o
    9. D2pxD2q: [p] x [q] opo2oqo

5-hiperpluredroj

    1. A5: [3, 3, 3, 3] o3o3o3o3o
    2. C5: [4, 3, 3, 3] o4o3o3o3o
    3. B5: [32, 1, 1] o3/003o3o
    4. A4xA1: [3, 3, 3] x [ ] o3o3o3o2o
    5. C4xA1: [4, 3, 3] x [ ] o4o3o3o2o
    6. F4xA1: [3, 4, 3] x [ ] o3o4o3o2o
    7. G4xA1: [5, 3, 3] x [ ] o5o3o3o2o
    8. B4xA1: [31, 1, 1] x [ ] o3/003o2o
    9. A3xD2p: [3, 3] x [p] - o3o3o2opo
    10. C3xD2p: [4, 3] x [p] - o4o3o2opo
    11. G3xD2p: [5, 3] x [p] - o5o3o2opo
    12. D2pxD2qxA1: [p] x [q] x [ ] opo2oqo2o

6-hiperpluredroj

    1. A6:[3, 3, 3, 3, 3] o3o3o3o3o3o
    2. C6:[4, 3, 3, 3, 3] o4o3o3o3o3o
    3. B6: [33, 1, 1] o3/003o3o3o
    4. E6: [32, 2, 1] o3o3/003o3o
    5. A5xA1: [3, 3, 3, 3] x [ ] o3o3o3o3o2o
    6. C5xA1:[4, 3, 3, 3] x [ ] o4o3o3o3o2o
    7. B5xA1: [32, 1, 1] x [ ] o3/003o3o2o
    8. A4xD2p: [3, 3, 3] x [p] o3o3o3o2opo
    9. C4xD2p: [4, 3, 3] x [p] o4o3o3o2opo
    10. F4xD2p: [3, 4, 3] x [p] o3o4o3o2opo
    11. G4xD2p: [5, 3, 3] x [p] o5o3o3o2opo
    12. B4xD2p: [31, 1, 1] x [p] o3/003o2oo
    13. A3xA3: [3, 3] x [3, 3] o3o3o2o3o3o
    14. A3xC3: [3, 3] x [4, 3] o3o3o2o4o3o
    15. A3xG3: [3, 3] x [5, 3] o3o3o2o5o3o
    16. C3xC3: [4, 3] x [4, 3] o4o3o2o4o3o
    17. C3xG3: [4, 3] x [5, 3]o4o3o2o5o3o
    18. G3xA3: [5, 3] x [5, 3] o5o3o2o5o3o
    19. A3xD2pxA1: [3, 3] x [p] x [ ] o3o3o2opo2o
    20. C3xD2pxA1: [4, 3] x [p] x [ ] o4o3o2opo2o
    21. G3xD2pxA1: [5, 3] x [p] x [ ] o5o3o2opo2o
    22. D2pxD2qxD2r: [p] x [q] x [r] opo2oqo2oro

7-hiperpluredroj

    1. A7: [36] o3o3o3o3o3o3o
    2. C7: [4, 35] o4o3o3o3o3o3o
    3. B7: [34, 1, 1] o3/003o3o3o3o
    4. E7: [33, 2, 1] o3o3/003o3o3o
    5. A6xA1: [35] x [ ] o3o3o3o3o3o2o
    6. C6xA1: [4, 34] x [ ] o4o3o3o3o3o2o
    7. B6xA1: [33, 1, 1] x [ ] o3/003o3o3o2o
    8. E6xA1: [32, 2, 1] x [ ] o3o3/003o3o2o
    9. A5xD2p: [3, 3, 3] x [p] o3o3o3o3o2opo
    10. C5xD2p: [4, 3, 3] x [p] o4o3o3o3o2opo
    11. B5xD2p: [32, 1, 1] x [p] o3/003o3o2oo
    12. A4xA3: [3, 3, 3] x [3, 3] o3o3o3o2o3o3o
    13. A4xC3: [3, 3, 3] x [4, 3] o3o3o3o2o4o3o
    14. A4xG3: [3, 3, 3] x [5, 3] o3o3o3o2o5o3o
    15. C4xA3: [4, 3, 3] x [3, 3] o4o3o3o2o3o3o
    16. C4xC3: [4, 3, 3] x [4, 3] o4o3o3o2o4o3o
    17. C4xG3: [4, 3, 3] x [5, 3] o4o3o3o2o5o3o
    18. G4xA3: [5, 3, 3] x [3, 3] o5o3o3o2o3o3o
    19. G4xC3: [5, 3, 3] x [4, 3] o5o3o3o2o4o3o
    20. G4xG3: [5, 3, 3] x [5, 3] o5o3o3o2o5o3o
    21. F4xA3: [3, 4, 3] x [3, 3] o3o4o3o2o3o3o
    22. F4xC3: [3, 4, 3] x [4, 3] o3o4o3o2o4o3o
    23. F4xG3: [3, 4, 3] x [5, 3] o3o4o3o2o5o3o
    24. B4xA3: [31, 1, 1] x [3, 3] o3/003o2o3o3o
    25. B4xC3: [31, 1, 1] x [4, 3] o3/003o2o4o3o
    26. B4xG3: [31, 1, 1] x [5, 3] o3/003o2o5o3o
    27. A4xD2pxA1: [3, 3, 3] x [p] x [ ] o3o3o3o2opo2o
    28. C4xD2pxA1: [4, 3, 3] x [p] x [ ] o4o3o3o2opo2o
    29. F4xD2pxA1: [3, 4, 3] x [p] x [ ] o3o4o3o2opo2o
    30. G4xD2pxA1: [5, 3, 3] x [p] x [ ] o5o3o3o2opo2o
    31. B4xD2pxA1: [31, 1, 1] x [p] x [ ] o3/003o2opo2o
    32. A3xA3xA1: [3, 3] x [3, 3] x [ ] o3o3o2o3o3o2o
    33. A3xC3xA1: [3, 3] x [4, 3] x [ ] o3o3o2o4o3o2o
    34. A3xG3xA1: [3, 3] x [5, 3] x [ ] o3o3o2o5o3o2o
    35. C3xC3xA1: [4, 3] x [4, 3] x [ ] o4o3o2o4o3o2o
    36. C3xG3xA1: [4, 3] x [5, 3] x [ ] o4o3o2o5o3o2o
    37. G3xA3xA1: [5, 3] x [5, 3] x [ ] o5o3o2o5o3o2o
    38. A3xD2pxD2q: [3, 3] x [p] x [q] o3o3o2opo2oqo
    39. C3xD2pxD2q: [4, 3] x [p] x [q] o4o3o2opo2oqo
    40. G3xD2pxD2q: [5, 3] x [p] x [q] o5o3o2opo2oqo
    41. D2pxD2qxD2rA1: [p] x [q] x [r] x [ ] opo2oqo2oro2o

8-hiperpluredroj (neplena)

    1. A8: [3, 3, 3, 3, 3, 3, 3] o3o3o3o3o3o3o3o
    2. C8: [4, 3, 3, 3, 3, 3, 3] o4o3o3o3o3o3o3o
    3. B8: [31, 4, 1] o3/003o3o3o3o3o
    4. E8: [34, 2, 1] o3o3/003o3o3o3o
    5. A7xA1: [3, 3, 3, 3, 3, 3] x [ ] o3o3o3o3o3o3o2o
    6. C7xA1: [4, 3, 3, 3, 3, 3] x [ ] o4o3o3o3o3o3o2o
    7. B7xA1: [31, 3, 1] x [ ] o3/003o3o3o3o2o
    8. [p, q, r, s, t] x [u] opoqorosoto2oo
    9. [p, q, r, s] x [t, u] opoqoroso2otoo
    10. [p, q, r] x [s, t, u] opoqoro2osotoo
    11. [p, q, r, s] x [t] x [ ] opoqoroso2oto2o
    12. [p, q, r] x [s, t] x [ ] opoqoro2osoto2o
    13. [p, q, r] x [s] x [t] opoqoro2oso2oto
    14. [p, q] x [r, s] x [t] opoqo2oroso2oto
    15. [p, q] x [r] x [s] x [ ] opoqo2oro2oso2o
    16. [p] x [q] x [r] x [s] opo2oqo2oro2oso - kvarprismo

Specialaj okazoj

En iuj specialaj okazoj la produtoj donas hiperkubojn:

  • [ ] x [ ] = [4] o2o
  • [ ] x [ ] x [ ] = [4, 3] o2o2o
  • [ ] x [ ] x [ ] = [4, 3, 3] o2o2o2o
  • [ ] x [ ] x [ ] x [ ] = [4, 3, 3, 3] o2o2o2o2o
  • ...

Unuformaj hiperpluredroj ne konstrueblaj per konstruo de Wythoff

Ekzistas unuformaj hiperpluredroj ne konstrueblaj per konstruo de Wythoff. Iuj el ili estas:

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

  • George Olshevsky, Unuforma hiperpluredro en Glossary for Hyperspace.
  • Kalejdoskopoj: elektitaj skribaĵoj de H.S.M. Coxeter, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.