En matematiko, totala ordo^[1], tuteca ordo, linia ordo aŭ simpla ordo sur aro X estas ordorilato, kiu kapablas ordigi ajnan paron da elementoj, tiel ke inter ajnaj du elementoj, unu estas pli granda ol la alia.

Difino

Sur aro ${\displaystyle X}$, totala ordo ${\displaystyle \leq }$ estas parta ordo kiu estas totala. Alivorte, ĝi estas duargumenta rilato sur X, kiu estas antisimetria, transitiva, kaj tuteca. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj a, b kaj c en X:

se a ≤ b kaj b ≤ a tiam a = b (antisimetrio)

se a ≤ b kaj b ≤ c tiam a ≤ c (transitiveco)

a ≤ b aŭ b ≤ a (tuteco)

Aro parigita kun asociita totala ordo sur ĝi nomiĝas totale ordita aro,^[2] linie ordita aro, simple ordita aro, aŭ ĉeno.

Rilata propraĵo de tuteco povas esti priskribita tiamaniere: ke ĉiu paro de eroj en la aro estas reciproke komparebla sub la rilato.

Rimarku ke la kondiĉo de totaleco implicas refleksivecon, tio estas a ≤ a. Tial totala ordo estas ankaŭ parta ordo, tio estas, duargumenta rilato kiu estas refleksiva, antisimetria kaj transitiva. Totala ordo povas ankaŭ esti difinita kiel parta ordo kiu estas totala.

Alternative, oni povas difini totale ordan aron kiel aparta speco de latiso, nome unu en kiu ni havas

{ a ∨ b, a ∧ b } = { a, b } por ĉiuj a, b.

Ni tiam skribas a ≤ b se kaj nur se a = a ∧ b. Sekvas, ke totale ordita aro estas distribueca latiso.

Se a kaj b estas membroj de aro kiu estas totale ordigita per ≤, tiam ni povas difini duargumentan rilaton a < b kiel: a ≤ b kaj a ≠ b. Ĉi tiu rilato estas transitiva (a < b kaj b < c implicas ke a < c) kaj, malkiel ≤, triĥotoma (t.e., ekzakte unu de a < b, b < a kaj a = b veras). Ni povas procedi laŭ la alia vojo kaj starti per ekelekti < kiel transitivan triĥotoman duargumentan rilaton; tiam se ni difinas a ≤ b signifi a < b aŭ a = b , tiam ≤ povas esti montrita esti totala ordo.

Totale ordaj aroj formas plena subkategorio de la kategorio de parte ordaj aroj, kun la strukturkonservantaj transformoj estante mapoj kiuj respektas la ordojn, t.e. mapojn f tiaj ke se a ≤ b tiam f(a) ≤ f(b).

Reciproke unuvalora surĵeto inter du totale ordaj aroj kiu respektas la du ordojn estas izomorfio en ĉi tiu kategorio.

Ekzemploj

• La literoj de la alfabeto orditaj laŭ la norma vortara ordo, e.g., A < B < C kaj tiel plu.
• Iu ajn subaro de totale ordita aro, kun la limigo de la ordo super la tuta aro.
• Iu ajn parte ordita aro X kie ĉiuj du eroj estas kompareblaj (tio estas se a,b estas membroj de X, aŭ a≤b aŭ b≤a aŭ ambaŭ.
• Iu ajn aro de kardinaloj aŭ ordaj numeroj (pli forte, tiuj estas bonaj ordoj).
• Se ${\displaystyle X}$ estas iu ajn aro kaj ${\displaystyle f}$ reciproke unuvalora surĵeto de iu ajn totale ordita aro al ${\displaystyle X}$ tiam ${\displaystyle f}$ produktas totalan ordon sur ${\displaystyle X}$ per tio fari ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ se kaj nur se ${\displaystyle x_{1}=f(n_{1})}$ kaj ${\displaystyle x_{2}=f(n_{2})}$ kaj ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$.
• La leksikographia (vortara, alfabeta) ordo sur la kartezia produto de aro de totale ordaj aroj indicita per orda numero, mem estas totala ordo. Ekzemple, iu ajn aro de vortoj ordita alfabete estas totala ordo, rigardata kiel subaro de kartezia produto de kalkulebla kvanto de kopioj de aro formita per aldonado de la spaco-simbolo al la alfabeto (kaj difinado spacon esti malpli ol iu ajn litero).
• Naturaj nombroj, entjeraj nombroj, racionalaj nombroj, kaj reelaj nombroj orditaj per la kutimaj malpli ol (<) aŭ pli granda ol (>) rilatoj estas ĉiuj totalaj ordoj. Ĉiu el ĉi tiuj povas esti montrita esti la unika (al en izomorfio) plej malgranda ekzemplo de totale ordita aro kun certa propraĵo, (totala ordo A estas la plej malgranda kun certa propraĵo se kiam ajn B havas la propraĵon, tiam estas orda izomorfio de A al subaro de B).:
  • La naturaj nombroj konstituas la plej malgrandan totale ordan aron sen supera limo.
  • La entjeroj konstituas la plej malgrandan totale ordan aron kun neniu supra nek suba limo.
  • La racionalaj nombroj konstituas la plej malgrandan totale ordan aron sen supra aŭ suba baro, kiu estas densa en la senco ke (a, b) estas ne-malplena por ĉiu a < b.
  • La reelaj nombroj konstituas la plej malgrandan nelimitan koneksan totale ordan aron. (Vidu pli sube por la difino de la topologio.)

Pluaj konceptoj

Referencoj