La teorio de Landau estas makroskopa teorio de faztransiro far Lev Landau. Ĝi kalkulas la kritajn eksponentojn de dua-orda faztransiroj el du aksiomoj:

1. La libera energio de la sistemo estas analitika;
2. La libera energio sekvas la simetriojn de la hamiltoniano.

Difino

Konsideru makroskopan sistemon kun faztransiro ĉe temperaturo ${\displaystyle T_{0}}$: la sistemo estas senorda ĉe ${\displaystyle T>T_{0}}$ kaj orda ĉe ${\displaystyle T<T_{0}}$. Elektu ordo-parametron ${\displaystyle m}$ kiu

• nulas ĉe ${\displaystyle T>T_{0}}$
• ne nulas ĉe ${\displaystyle T<T_{0}}$.

Alivorte, ${\displaystyle m}$ estas mezuro de la ordo de la sistemo.

La libera energio ${\displaystyle F}$ de la sistemo (la helmholca libera energio se ni supozas la kanonan ensemblon) estas

${\displaystyle \exp(-F\beta )=Z=\sum _{i}\exp(-E_{i}\beta )}$.

Ni uzu la proksimumadon de la averaĝa kampo kaj supozu ke

${\displaystyle Z(T,m)=\exp(-F_{0}(T))\int \operatorname {D} \!m\;\exp(-F_{\mathrm {L} }(T,m))}$.

Do ni uzu la selan proksumumadon

${\displaystyle \int \operatorname {D} \!m\;\exp(-F_{\mathrm {L} }(T,m))\approx \exp(-F_{\mathrm {L} }(T,m_{\min }))}$

kie ${\displaystyle m_{\min }}$ estas la minimumejo de ${\displaystyle F_{\mathrm {L} }(T,m)}$. Do

${\displaystyle A=F_{0}(T)+F_{\mathrm {L} }(T,m_{\min })}$.

Ni supozu ke ${\displaystyle F_{\mathrm {L} }(T,m)}$ analitike dependas de ${\displaystyle T}$ kaj ${\displaystyle m}$ kaj sekvas la simetriojn de la sistemo. Do ni skribu la plej ĝeneralan analitikan serion por ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }}$ kaj solvu por ${\displaystyle m_{\min }}$.

Ekzemplo: Modelo de Ising

La modelo de Ising, kiu modelas magneton kun spinoj ${\displaystyle s_{i}=\pm 1}$, havas faztransiron por du aŭ pli multaj dimensioj. La kutima ordo-parametro estas la magnetado ${\displaystyle M=\langle s\rangle }$, kiu estas averaĝo de la spinoj. La modelo de Ising estas simetria per la inversigo de ĉiuj spinoj, k.e. ${\displaystyle M\mapsto -M}$.

La esprimo por la libera energio ${\displaystyle F(M)}$ estas do

${\displaystyle F_{\mathrm {L} }(T,M)={\frac {1}{2}}a(T-T_{0})M^{2}+{\frac {1}{4}}bM^{4}+\cdots }$.

Observu ke ne ekzistas termo kun nepara eksponento de ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle M}$, ${\displaystyle M^{3}}$, ktp.) ĉar la simetrio ${\displaystyle M\mapsto -M}$. Supozante ke ${\displaystyle a,b>0}$ kaj neglektante alta-ordajn termojn, la minimumejo de ${\displaystyle F}$ estas

${\displaystyle M_{\min }={\begin{cases}0&{\text{se }}T\geq T_{0}\\\pm {\sqrt {a(T_{0}-T)/b}}&{\text{se }}T\leq T_{0}.\end{cases}}}$

La minimumo de ${\displaystyle F_{\mathrm {L} }}$ estas

${\displaystyle F_{\mathrm {L} }(T,M_{\min })={\begin{cases}0&{\text{se }}T\geq T_{0}\\-a^{2}(T-T_{0})^{2}/4b&{\text{se }}T\leq T_{0}.\end{cases}}}$

Ni vidas ke:

• Ekzistas faztransiro ĉe ${\displaystyle T=T_{0}}$. La faztransiro estad dua-orda: la ordo de la faztransiro estas minimuma la eksponento ${\displaystyle n}$ tia ke ${\displaystyle (\partial /\partial T)^{n}F}$ ne kontinuas.
• Sub ${\displaystyle T_{0}}$, la simetrio ${\displaystyle M\to -M}$ spontanee rompiĝas, ĉar ${\displaystyle M_{\min }\neq 0}$.
• La krita eksponento ${\displaystyle \beta }$ estas la eksponento tia ke ${\displaystyle M\propto (T-T_{0})^{\beta }}$ sub la faztransira temperaturo. La teorio de Landau prognozas ke ${\displaystyle \beta =1/2}$. (Fakte, ${\displaystyle \beta \approx 1/3}$.)

Referencoj

• K Huang, Statistical mechanics (statistika mekaniko), 2a eld., Wiley, 1987. ISBN 0-471-81518-7
• "Landau theory of phase transitions", SklogWiki
• PD Olmsted, Lectures on Landau theory of phase transitions
• MC Cross, "Landau theory of second order phase transitions" Arkivigite je 2010-06-22 per la retarkivo Wayback Machine (notoj el Caltech)
• IR Yukhnovskii, Phase transitions of the second order: collective variables method, World Scientific, 1987. ISBN 9971-50-087-6