En matematiko, la bon-orda teoremo aŭ teoremo de Zermelo (laŭ Ernst Zermelo [cerme:lo]) asertas ke ĉiu aro povas esti bone ordigita. Aro X estas bone ordigita se ĉiu ne-malplena subaro de X havas malplej grandan elementon sub la elektita ordigo.
La bon-orda teoremo estas ekvivalenta al la aksiomo de elekto, en la senco ke ĉiu el ili kune kun la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel estas sufiĉa por pruvi la alian, en unua-nivela logiko. (La samo validas por la lemo de Zorn.) En dua-nivela logiko, tamen, la bon-orda teoremo estas strikte pli forta ol la aksiomo de elekto: el la bon-orda teoremo oni povas dedukti la aksiomon de elekto, sed el la aksiomo de elekto oni ne povas konkludi la bon-ordan teoremon.
Bona ordo estas grava ĉar pro ĝi ĉiu aro povas esti konsiderata per la potenca tekniko de transfinia indukto. La bon-orda teoremo havas sekvojn kiuj povas ŝajni paradoksaj, kiel ekzemple la paradokso de Banach-Tarski.
Historio
Georg Cantor pripensis la bon-ordan teoremon por esti "ĉefprincipo de penso". Plejparto de matematikistoj tamen trovis malfacilan krei bon-ordon de, ekzemple, la aro ℝ de ĉiuj reeloj. En 1904, Gyula Kőnig diris ke pruvis ke ĉi tia bon-ordo ne povas ekzisti. Kelkajn semajnojn poste, tamen, Felix Hausdorff trovis eraron en la pruvo.
Ernst Zermelo enkondukis la aksiomon de elekto kiel "nekritikebla logika principo" por pruvi la bon-ordan teoremon.
Deklaro kaj skizo de pruvo
Por ĉiu aro X, ekzistas bona ordo kun domajno X.
La bon-orda teoremo sekvas facile el la lemo de Zorn. Prenu la aron A de ĉiuj bone ordigitaj subaroj de X. Strikte parolante, ĉiu elemento de A estas ordigita duopo (a, b) kie a estas subaro de X kaj b estas ordigo de a. A povas esti parte ordigita per daŭrigo. Ĉi tio signifas, ke oni difinas E≤F se E estas komenca segmento de F kaj la ordigo de la membroj en E estas la sama kiel ilia ordigo en F. Se E estas tutece orda aro en X, tiam la kunaĵo de la aroj en E povas esti ordigita laŭ maniero kiu igas ĝin daŭrigo de ĉiuj aroj en E kaj, tial, superan baron de E. Oni povas tial uzi la lemon de Zorn por konkludi ke A havas maksimuman elementon M. M devas esti egala al X. Se X havas elementon x kiu ne estas en M, ekzistas aro kun la sama ordo kiel M krom kun x post ĉiuj aliaj membroj de M. Ĉi tiu aro estus daŭrigo de M, kio estas kontraŭdiro.
La aksiomo de elekto povas esti pruvita de la bon-orda teoremo jene: Por fari elektofunkcion de kolekto de aroj E, prenu la kunaĵon de la aroj en E kaj nomu ĝin X. Ekzistas bona ordo de X, kaj do ĉiu aro en E havas plej malgrandan elementon laŭ tiu ordo. La elekto-funkcio povas elekti la plej malgrandan elementon de ĉiu membro de E.
Vidu ankaŭ
- Bona ordo
- Bon-orda principo