Teoremo de Rolle

Bildo pri la teoremo de Rolle: y=f(x) estas kontinua en [a,b], derivebla en (a,b) kaj f(a) = f(b). Tiam, ekzistas c, kies derivaĵo nuliĝas.

En analitiko la teoremo de Rolle asertas, ke se funkcio estas kontinua en kompakta Intervalo $[a,b]\quad$ , tio estas malfermita kaj limigita, derivebla en ĉiu punkto en la fermita intervalo $(a,b)\quad$ kaj $f(a)=f(b)\quad$ , tiam ekzistas almenaŭ interna punkto en $(a,b)\quad$ kies derivaĵo nuliĝas, tio estas $f'(c)=0\quad$ (krita punkto).

Formale: Estu $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ Se $f\quad$ estas kontinua en $[a,b]\quad$ , derivebla en $(a,b)\quad$ kaj $f(a)=f(b)\quad$ tiam $\exists \ c\in (a,b):f'(c)=0$

Demonstro

Per teoremoj de Weierstrass kaj Fermat

Danke al teoremo de Weierstrass la funkcio en la intervalo $[a,b]\quad$ garantias la ekziston de absolutaj maksimumo kaj minimumo (kiuj estos $M\quad$ kaj $m\quad$ ). Estas du kazoj:

Maksimumo kaj minimumo estas ambaŭ en ekstremoj. Do, ĉar $f(a)=f(b)\quad$ , $M=m\quad$ . Tio implikas, ke la funkcio estas konstanta en la intervalo $[a,b]\quad$ kaj la derivaĵo estas nula en ĉiuj punktoj $c\quad$ de la intervalo $(a,b)\quad$ .
Maksimumo kaj minimumo ne estas en ekstremoj sed ene de la intervalo. Ni supozu, ke la punkto $c\quad$ en la malfermita intervalo $(a,b)\quad$ estas maksimumo, tio estas $f(c)=M\quad$ . Laŭ la teoremo de Fermat pri kritaj punktoj la derivaĵo estas nula en la punkto $c\quad$ .

Per teoremo de Lagrange

Ĉi tiu teoremo estus aparta kazo de la teoremo de Lagrange, kiu asertas, ke, sen la hipotezo $f(a)=f(b)\quad$ , $\exists \ c\in (a,b)|f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ . Se $f(a)=f(b)\quad$ , la numeratoro estas nula, do la teoremo de Rolle estas verigita.

Kontraŭekzemploj

Dua kontraŭekzemplo. La funkcio

y=|x|\quad

en la intervalo

[-1,1]\quad

ne deriveblas en x = 0. La teoremo de Rolle ne estas valida.

La teoremo ne validas se ne estas nur unu el la tri hipotezoj:

$f(x)\quad$ ne estas kontinua en $[a,b]\quad$ .
$f(x)\quad$ ne estasderivebla en $(a,b)\quad$ .
$f(a)\neq f(b)\quad$ .

Ĝeneraligoj

Ebla ĝeneraligo de la teoremo de Rolle garantias la ekziston de ne-deriveblaj punktoj, de fleksoj kun vertikala tanĝanto, tio estas punktoj kie la limeso de la pliiga raporto estas infinito.

Vidu ankaŭ

Derivaĵo
Teoremo de Lagrange
Teoremo de Cauchy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.