Teoremo de Poisson estas teoremo en probablo-teorio.

Integro

Se ekzistas vico de provo de Bernoulli kaj se ${\displaystyle p_{n}}$ estas probablo de «sukceso», kaj ${\displaystyle \mu _{n}}$ nombro de «sukcesoj»,

Se

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=0;}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda$ ;}
3. ${\displaystyle \lambda >0;}$

do

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega$ :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}

Pruvo

Uzante formulon de Bernoulli, devas esti, ke

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega$ :\mu _{n}(\omega )=m)=C_{n}^{m}(p_{n})^{m}(1-p)^{n-m}={\cfrac {n!}{m!(n-m)!}}{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{n-m}=}

${\displaystyle ={\cfrac {1}{m}}{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{n-m},}$

ĉar

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda \;\Leftrightarrow \;p_{n}={\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}$

ĉe

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\cfrac {o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}{\cfrac {\lambda }{n}}}=0.}$

Sed ĉar

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}={\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+1)}{n}}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+2)}{n}}{\bigg )}\cdot \ldots \cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n)}{n}}{\bigg )}=1;}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\lambda +o(\lambda ))^{m}=\lambda ^{m};}$
3. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}=e^{-\lambda },}$

ĉe devita egalaĵo turniĝas en

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega$ :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}

Q.E.D.