En vektora kalkulo, la diverĝenca teoremo, aŭ gaŭsa teoremo aŭ teoremo de Ostrogradskij aŭ teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso estas interrilato inter la fluo eksteren de vektora kampo tra surfaco kaj la konduto de la vektora kampo ene de la surfaco.

La diverĝenca teoremo statas ke la fluo de vektora kampo tra surfaco estas egala al la triopa integraĵo de la diverĝenco en la regiono ene de la surfaco. Intuicie, ĝi statas ke la sumo de intensecoj de ĉiuj fontoj de fluo (minus la sumo de intensecoj de ĉiuj finoj de la fluo) egalas al fluo el la regiono.

La diverĝenca teoremo estas grava rezulto por fiziko, aparte elektrostatiko kaj fluidaĵ-dinamiko.

Formuloj

Estu V subaro de Rⁿ (kutime n=3) kiu estas kompakta kaj havas popece glatan randon. Se F estas kontinue diferencialebla vektora kampo difinita sur najbaraĵo de V, tiam

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$

kie ∂V estas la rando de V orientita per eksteren-montranta surfaca normalo N kaj dS estas Nds kie ds estas diferencalo de areo de la rando ∂V.

La diverĝenca teoremo estas ofte aplikita en ĉi tiuj variantoj:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$

(ĉi tiu estas la bazo por identoj de Green, se ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$),

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla gdV=\iint \limits _{\partial V}gd\mathbf {S} }$

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {S} }$

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla \times \mathbf {F} dV=\iint \limits _{\partial V}d\mathbf {S} \times \mathbf {F} }$

La diverĝenca teoremo estas speciala okazo de la pli ĝenerala teoremo de Stokes kiu ĝeneraligas la fundamentan teoremon de kalkulo.

Ekzemplo de uzo

Supozu ke oni deziras komputi ${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dS}$, kie S estas la unuobla sfero W kun ekvacio ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ kaj F estas la vektora kampo ${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} }$ kie i, j, k estas la tri ortoj de la koordinataj aksoj. La direkta kalkulado de ĉi tiu integralo estas sufiĉe malfacila, sed ĝi povas esti plisimpligita per la diverĝenca teoremo:

${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dS=\iiint \limits _{W}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=2\iiint \limits _{W}\left(1+y+z\right)dV}$

${\displaystyle =2\iiint \limits _{W}dV+2\iiint \limits _{W}ydV+2\iiint \limits _{W}zdV}$

Per simetrio

${\displaystyle \iiint \limits _{W}ydV=\iiint \limits _{W}zdV=0}$

Pro tio

${\displaystyle 2\iiint \limits _{W}\left(1+y+z\right)dV=2\iiint \limits _{W}dV={\frac {8\pi }{3}}}$

ĉar la unuobla sfero W havas volumenon 4π/3.

Aplikoj

Historio

La teoremo estis unua esplorita de Joseph-Louis de Lagrange en 1762, kaj poste sendepende reesplorita de Carl Friedrich Gauss en 1813, per George Green en 1825 kaj de Miĥail Vasilieviĉ Ostrogradskij en 1831, kiu ankaŭ donis la unuan pruvon de la teoremo.

Vidu ankaŭ

• Vektora kalkulo
• Gradienta teoremo
• Teoremo de Green
• Teoremo de Kelvino-Stokes

Eksteraj ligiloj

• Arkivigite je 2002-10-29 per la retarkivo Wayback Machine je PlanetMath