Sumo de Minkowski A + B

B

A

En geometrio, la sumo de Minkowski aŭ pligrandiĝo de du aroj A kaj B en eŭklida spaco estas la aro de ĉiuj rezultoj de adicio de elemento de A al elemento de B, kio estas la aro

${\displaystyle A+B=\{\mathbf {a} +\mathbf {b} \,|\,\mathbf {a} \in A,\ \mathbf {b} \in B\}.}$

Ekzemple, se

A = { (1, 0), (0, 1), (0, −1)}

kaj

B = { (0, 0), (1, 1), (1, −1)},

do la Sumo de Minkowski estas

A + B = { (1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}, kiu aspektas simile al seslatero, kun trifoje ripetita punkto (1,0).

Ĉi tiu operacio estas uzata en teoremo de Minkowski:

C + C = 2C

por konveksa simetria aro enhavanta nulon, kie en la maldekstra flanko estas la sumo de Minkowski kaj en la dekstra flanko estas la homotetio per faktoro 2.

Esenca sumo de Minkowski

Estas ankaŭ nocio de la esenca sumo de Minkowski +_e de du aroj en eŭklida spaco. La esenca sumo de Minkowski estas difinita kiel

${\displaystyle A+_{\mathrm {e} }B=\{z\in \mathbb {R} ^{n}|\mu (X\cap (z-Y))>0\},}$

kie μ estas n-dimensia lebega mezuro. La kaŭzo por la termino "esenca" estas jena propraĵo de nadlaj funkcioj: se

${\displaystyle 1_{A+B}(z)=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}1_{A}(x)1_{B}(z-x),}$

do

${\displaystyle 1_{A+_{\mathrm {e} }B}(z)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\in \mathbb {R} ^{n}}1_{A}(x)1_{B}(z-x),}$

kie ess sup estas la esenca preciza supra rando.

Aplikoj

Algoritmoj por komputo de sumo de Minkowski

Vidu ankaŭ

• Intervala aritmetiko
• Zonohiperpluredro
• Paralela kurbo
• Erozio

Referencoj

• Gardner, Richard J. (2002). “The Brunn-Minkowski inequality - La neegalaĵo de Brunn-Minkowski”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) - Bulteno de la Amerika Matematika Socio 39 (3), p. 355–405 (elektroniko).