n-obla rotacia simetrio

rotacia simetrio de ordo n, aŭ n-obla rotacia simetrio, aŭ diskreta rotacia simetrio de ordo n, ĉirkaŭ certa punkto en 2 dimensioj, akso en 3 dimensioj, m-2 dimensia hiperebeno en m dimensioj signifas ke rotaciado per angulo de 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60° por n=2...6) ne ŝanĝas la figuron. La triviala "1-obla simetrio", fakte, ne estas simetrio.

La kristal-sistema notacio por n-obla rotacia simetrio estas C_n aŭ simple "n". La reala geometria simetria grupo estas precizigita per la punkto aŭ simetriakso, kaj ankaŭ la nombro n. Por ĉiu punkto aŭ simetriakso la abstrakta grupo estas cikla grupo Z_n de ordo n. Kvankam por la lasta ankaŭ la notacio C_n estas uzata, la geometria kaj la abstrakta C_n devas esti distingataj, ĉar ekzistas aliaj geometriaj simetriaj grupoj kun la sama speco de abstrakta grupo, vidu en punktaj grupoj en tri dimensioj.

La fundamenta domajno estas sektoro de 360°/n, se ne estas aldonaj simetrioj.

Se estas rotacia simetrio kun respektivo al angulo β do estas ankaŭ rotacia simetrio kun respektivo al angulo kiu estas la plej granda komuna divizoro de β kaj 360°. Se ĉi tiu plej granda komuna divizoro ne ekzistas do la rotacia simetrio estas kontinua (malfinio-obla).

Ekzemple, se estas rotacia simetrio kun respektivo al angulo 100°, tiam ĝi estas ankaŭ kun respektivo al angulo 20°, kiu estas la plej granda komuna divizoro de 100° kaj 360°.

Multaj simetriaj aksoj tra la sama punkto

Por diskreta simetrio kun multaj simetriaj aksoj tra la sama punkto, estas jenaj eblecoj:

• Aldone al n-obla akso, n perpendikularo 2-oblaj aksoj: la duedraj grupoj D_n de ordo 2n (n≥2). Ĉi tiu estas la rotacia grupo de regula prismo, aŭ regula dupiramido. Kvankam la sama skribmaniero estas uzata, la geometria kaj abstrakta D_n devas esti distingitaj ĉar estas la aliaj geometriaj simetriaj grupoj kun la sama speco de abstrakta grupa, vidu en punktaj grupoj en tri dimensioj.
• 4 3-oblaj kaj 3 2-oblaj aksoj: la rotacia grupo T de ordo 12 de regula kvaredro (kvaredra simetrio). La grupo estas izomorfia al alterna grupo A₄.
• 3 4-oblaj, 4 3-obla, 6 2-oblaj aksoj: la rotacia grupo O de ordo 24 de kubo kaj regula okedro (okedra simetrio). La grupo estas izomorfia al simetria grupo S₄.
• 6 5-oblaj, 10 3-oblaj, 15 2-oblaj aksoj: la rotacia grupo I de ordo 60 de dekduedro kaj dudekedro (dekduedra simetrio). La grupo estas izomorfia al alterna grupo A₅. La grupo enhavas 10 versiojn de D₃ kaj 6 versiojn de D₅ (rotaciaj simetrioj similaj al tiuj de prismoj kaj kontraŭprismoj (prisma simetrio)).

Ĉe la platonaj solidoj, la 2-oblaj aksoj estas tra la mezpunktoj de kontraŭaj lateroj, la kvanto de ili estas duono kvanto de la lateroj. La aliaj aksoj estas tra kontraŭaj verticoj kaj tra centroj de kontraŭaj edroj, kun escepto ĉe la kvaredro, kie la 3-oblaj aksoj estas ĉiu tra vertico kaj la centro de la kontraŭa edro.

rotacia simetrio kun respektivo al ĉiu angulo

rotacia simetrio kun respektivo al ĉiu angulo estas kontinua rotacia simetrio aŭ malfinio-obla rotacia simetrio.

En 2 dimensioj rotacia simetrio kun respekto al ĉiu angulo estas cikla simetrio. La fundamenta domajno estas duonrekto.

En 3 dimensioj estadas cilindra simetrio kaj sfera simetrio.

Cilindra simetrio estas nedependeco de la figuro de la angula koordinato el cilindraj koordinatoj. La fundamenta domajno estas duonebeno tra la akso.

Sfera simetrio estas nedependeco de la figuro de ambaŭ angulaj koordinatoj el sferaj koordinatoj. La fundamenta domajno estas la radiusa duonrekto.

En 4 dimensioj, kontinua aŭ diskreta rotacia simetrio ĉirkaŭ ebeno respektivas al respektiva 2D rotacia simetrio en ĉiu perpendikulara ebeno, ĉirkaŭ la punkto de komunaĵo de la du ebenoj. Figuro povas ankaŭ havi rotacia simetrio ĉirkaŭ du perpendikularaj ebenoj, do ĝi povas esti la cilindro (kartezia produto) de du turne simetriaj 2D figuroj. El ĉi tiuj du figuroj, neunu, nur unu aŭ ambaŭ povas havi kontinuajn rotaciajn simetriojn, kaj la restantaj havi diskretajn rotaciajn simetriojn. La ekzemploj estas ducilindro kaj diversaj regula duprismoj.

En 4 dimensioj povas esti ankaŭ sfera simetrio ĉirkaŭ rekto kaj 3-sfera simetrio ĉirkaŭ punkto.

rotacia simetrio kun mova simetrio

Ordigo en primitiva ĉelo de 2-obla kaj 4-obla rotaciaj centroj. Fundamenta domajno estas indikita en flava.

2-obla rotacia simetrio kaj ankaŭ sola mova simetrio estas unu el la frisaj grupoj. Estas du rotaciaj centroj por primitiva ĉelo.

Ordigo en primitiva ĉelo de 2-obla, 3-obla, 6-obla rotaciaj centroj, sola aŭ en kombinaĵo (konsideru la 6-oblan kiel kombinaĵo de 2-obla kaj 3-obla); ĉe nur 2-obla simetrio la formo de la paralelogramo povas esti diversa. Por la okazo p6, fundamenta domajno estas indikita en flava.

rotacia simetrio kaj ankaŭ duopa mova simetrio estas jenaj papertapetaj grupoj, kun aksoj por primitiva ĉelo:

• p2 (2222): 4 2-oblaj; rotacia grupo de paralelograma, ortangula, kaj romba kradoj.
• p3 (333): 3 3-obla; rotacia grupo regula triangula kahelaro kun la egallateraj trianguloj alterne kolorigitaj.
• p4 (442): 2 4-oblaj, 2 2-oblaj; rotacia grupo de kvadrata krado.
• p6 (632): 1 6-oblaj, 2 3-oblaj, 3 2-oblaj rotacia grupo de seslatera krado.

• 2-oblaj rotaciaj centroj (inkluzivante la 4-oblajn kaj 6-oblajn), se ili ekzistas, formas kradon egalan al la mova krado skalita per faktoro 1/2. En la okazo de mova simetrio en unu dimensio la propraĵo veras kvankam la termino "krado" ne estas uzata.
• 3-oblaj rotaciaj centroj (inkluzivante la 6-oblajn), se ili ekzistas, formas seslateran kradon egalan al la mova krado skalitan per faktoro 1/√3 kaj turnitan je 30° (aŭ ekvivalente je 90°).
• 4-oblaj rotaciaj centroj, se ili ekzistas, formas kvadratan kradon egalan al la mova krado skalitan per faktoro 1/√2 kaj turnitan je 45°.
• 6-oblaj rotaciaj centroj, se ili ekzistas, formas seslateran kradon egalan al la mova krado.

3-obla rotacia simetrio je unu punkto kaj 2-obla je la alia (aŭ en 3D kun respektivo diversa paralelaj aksoj) implicas rotacian grupon p6, kio estas duopa mova simetrio kaj 6-obla rotacia simetrio je iu punkto (aŭ, en 3D, paralela akso). La mova distanco por la simetrio generita per ĉi tia paro de rotaciaj centroj estas 2√3 fojoj distanco inter ili.

Seslateropiramidigita triangula kahelaro, ekzemplo de p6 (kun koloroj) kaj p6m (sen koloroj); la linioj estas reflektaj aksoj se koloroj estas ignorita. Estas enhavataj tri ortangulaj kradoj ĉiu en malsama direkto.