Je kompleksa geometrio, rimana surfaco estas komplekse unudimensia (t.e. reele dudimensia) kompleksa sternaĵo.

Difino

Jen du ekvivalentaj difinoj de la koncepto de rimana surfaco.

• Rimana surfaco estas unudimensia kompleksa sternaĵo — alivorte, ĝi estas (reele) dudimensia glata sternaĵo, kune kun kompleksa strukturo sur gia tanĝa fasko. (Fakte, ĉiu dudimensia sternaĵo havas unikan glatan strukturon.)
• Rimana surfaco estas dudimensia glata sternaĵo kun orientiĝo kaj konforma metriko (ekvivalentklaso de rimana metriko sub multipliko per pozitiva skalara funkcio).

La du difinoj estas ekvivalentaj. Ĉiu kompleksa strukturo

${\displaystyle J\colon \mathrm {T} \Sigma \to \mathrm {T} \Sigma }$

difinas konforman metrikon tiel: uzante la atlason de lokaj izomorfioj al malfermita subaro de la kompleksa ebeno, transportu la norman Eŭklidan metrikon de la kompleksa ebeno al la surfaco. Tio, ĝenerale, ne estas bone difinita, sed la konforma ekvivalentklaso estas bone difinita.

Ĉiu rimana surfaco estas, fakte, kompleksa projekcia variaĵo. Alivorte, la elekto de kategorio (ĉu analitika, ĉu algebra) ne gravas en unu dimensio.

Ekzemploj

La kompleksa ebeno ${\displaystyle \mathbb {C} }$ estas nekompakta rimana sternaĵo. La kompleksa projekcia linio ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ estas kompakta rimana sternaĵo (de genro 0).

Se ${\displaystyle \tau }$ estas kompleksa nombro kun pozitiva imaginara parto, do oni povas difini la kompleksan elipsan kurbon

${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$.

Tio estas kompakta rimana surfaco de genro 1.

Historio

La koncepton difinis la germana matematikisto Bernhard Riemann (Esperante Bernardo Rimano).

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Riemann surface en MathWorld.
• Riemann surface (angle). Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag, Eŭropa Matematika Societo.