Reeloj (reelaj nombroj) estas intuicie priskribeblaj kiel nombroj, kiuj fidele (t.e. bijekcie) prezentas punktojn sur rekta linio, la nombra akso. Historie, la termino reala nombro estis konstruita responde kaj kontraste al imaginara nombro. En Esperanto oni kutime uzas apartan substantivan radikon 'reel' por klare distingi inter la faka termino "reela nombro" kaj la komunuza esprimo "reala nombro". Eĉ pli grava estas distingi pli kompleksajn esprimojn kiel terminecan "reela analizo" disde la libera vortkombino "reala analizo" kaj simile.
Reelo povas esti racionala aŭ neracionala; algebra aŭ transcenda; kaj pozitiva, negativa aŭ nulo.
Teorie la reelojn eblas prezenti per poziciaj frakcioj, havantaj malfinie multajn ciferojn dekstre de la on-komo. Tamen praktike oni ne povas skribi la pozician frakcion de neracionala nombro, ĉar oni bezonus nefinie multan tempon kaj spacon.
Por la aro de ĉiuj reeloj oni kutime uzas simbolon R aŭ ℝ.
Historio
Frakcioj estis uzataj de la sumeroj ekde antaŭ 3000 a.K. Ĉirkaŭ 500 a.K. grekaj matematikistoj gvidataj de Pitagoro notis la neceson de neracionalaj nombroj.
La strikta teorio de reeloj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de K. Weierstrass, R. Dedekind kaj G. Cantor.
Difino
Konstruo de la reeloj el la racionaloj
Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelon kiel dedekindan tranĉon de la racionalaj nombroj.
Aksiomoj pri la reeloj
Oni povas karakterizi la korpon de reeloj per tiuj aksiomoj (ĝis izomorfio):
- La korpo-aksiomoj pri adicio, multipliko kaj distribueco
- Aksiomo pri ordo, unu el la du ekvivalentaj aksiomoj
- ekzistas harmonia tuteca ordo (K, <) (do el 0 < a kaj 0 < b sekvas 0 < a + b kaj 0 < a·b)
- ekzistas subaro K₊ tiel, ke
- K = K₊ U {0} U −K₊
- Se a,b ∈ K₊, tiam a + b ∈ K₊ kaj a·b ∈ K₊
- Unu el la (ekvivalentaj) aksiomoj de kompleteco :
Ankaŭ estas la aksiomo de Cantor-Dedekind kiu priskribas rilaton de reeloj al geometrio.
Demonstrado de Cantor pli la "pligrandeco" de la infinito de reelaj
Post montrinte la paradoksoj de malfinio, kiu montras, ke la racionalaj nombroj, kvankam malfinie pli nombraj ol la entjeraj nombroj estas tamen "egale" nombraj, ĉar eblas konstrui parigadosistemon, per kiu ĉiu ero de la unua aro estas parigita laŭ ensurĵeto kun ĉiu ero de la dua. Sed kun la sama rezono, eblas pruvi, ke la malfinio de la aro de reeloj (kardinalo de kontinuumo) estas pli granda!
- Ni supozu, ke tia parigado estus efektivigita. Do ni ricevas tabelon, en kies unua kolumno troviĝas la tuta vico de la malfininombraj entjeroj ("potenco de la malkontinua"), en la sekvaj estos, linio post linio la laŭvicaj decimaloj de la ĉiu reela nombro parigita kun ĉiu entjera.
- Jen nun ni konstruu reelon kies unua decimalo estu io ajn krom la unua decimalo de la unua reelo de la tabelo. Ties dua decimalo ni faru io ajn krom la dua decimalo de la dua reelo de la tabelo. Kaj tiel plu (malfinie kompreneble!)
- Do nun tiu konstruita nombro ne povos esti parigita kun la unua entjero, ĉar ties unua decimalo nepre estos malsama. Ĝi ne povos esti parigita kun la dua, ĉar ĝia dua decimalo estos malsama. Kaj tiel plu. Do tiu nombro NE troviĝas en la supozita tuta parigado. CQFD (latine: Quod erat demonstrandum, kio estis pruvenda).
Vidu ankaŭ
- Natura nombro
- Entjero
- Racionala nombro
- Neracionala nombro
- Algebra nombro
- Transcenda nombro
- Kompleksa nombro
- Aksiomo de Cantor-Dedekind
- Arĥimeda eco estas kondiĉo, kiu garantias, ke ne ekzistas nefinie grandaj aŭ nefinie malgrandaj (t.e. infinitezimaj) elementojoj.
- Kardinalo de kontinuumo