En probabloteorio kaj stokastikaj procezoj, la reflektadprincipo por Wiener-procezo deklaras ke se la pado de Wiener-procezo ${\displaystyle f(t)}$ atingi valoron ${\displaystyle f(s)=a}$ en tempo ${\displaystyle t=s}$, tiam la posta vojo post tempo ${\displaystyle s}$ havas la saman distribuon kiel la reflektado de la posta vojo sur la valoro ${\displaystyle a}$ . Pli formale, la principo de reflektado rilatas al lemo koncerne la distribuadon de la suprema de la Wiener-procezo, ankaŭ nomita Browniana moviĝo . La rezulto rilatigas la distribuadon de la suprema de la Browniana movo al la tempo ${\displaystyle t}$ kun la distribuo de la procezo en tempo ${\displaystyle t}$ . Ĝi estas konsekvenco de la forta Markov-posedaĵo de Brownia moviĝo. ^[1]

Aserto

se ${\displaystyle (W(t):t\geq 0)}$ estas Wiener-procezo ${\displaystyle a>0}$ estas sojlo (ankaŭ nomita krucpunkto), tiam la lemo diras:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb {P} (W(t)\geq a).}$

Pli forte, la principo de pripensado deklaras ke se ${\displaystyle \tau }$ estas halta tempo, tiam la reflekto de la Wiener-procezo komencanta je ${\displaystyle \tau }$, indikita ${\displaystyle (W^{\tau }(t):t\geq 0)}$, ankaŭ estas Wiener-procezo, kie:

${\displaystyle W^{\tau }(t)=W(t)\chi _{\left\{t\leq \tau \right\}}+(2W(\tau )-W(t))\chi _{\left\{t>\tau \right\}}}$

kaj la indikila funkcio ${\displaystyle \chi _{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{se }}t\leq \tau \\0,&{\text{de outro modo }}\end{cases}}}$ Ĝi estas ${\displaystyle \chi _{\{t>\tau \}}}$ estas difinitaj simile. La plej forta formo implicas la originalan moton dum elektado ${\displaystyle \tau =\inf \left\{t\geq 0:W(t)=a\right\}}$ .

Pruvo

La plej frua halttempo por atingi la interkruciĝpunkton ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \tau _{a}:=\inf \left\{t:W(t)=a\right\}}$, estas preskaŭ certe limigita halttempo. Tiam ni povas apliki la fortan Markov-econ por dedukti ke posta relativa vojo al ${\displaystyle \tau _{a}}$, donita de ${\displaystyle X_{t}:=W(t+\tau _{a})-a}$, estas ankaŭ simpla Brownia movo sendependa de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$ . Do la probabla distribuo por la lasta fojo ${\displaystyle W(s)}$ estas sur la sojlo ${\displaystyle a}$ aŭ super ĝi en la tempointervalo ${\displaystyle [0,t]}$ kaj povas esti malkomponita kiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)<a\right)\\&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)\\\end{aligned}}.}$

Per la turo por kondiĉaj atendoj, la dua termino reduktas al:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)&=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\chi _{\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a}\mathbb {P} \left(X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right),\end{aligned}}}$

donita tion ${\displaystyle X(t)}$ estas norma Brownia movo sendependa de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$ kaj havas probablecon ${\displaystyle 1/2}$ esti malpli ol ${\displaystyle 0}$ . La pruvo de la lemo estas kompletigita per anstataŭigado de tio en la duan linion de la unua ekvacio:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+{\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}.}$ ^[2]

Konsekvencoj

La reflektadprincipo estas ofte uzata por simpligi distribuajn trajtojn de Browniana moviĝo. Konsiderante Brownian moviĝon en la limigita intervalo ${\displaystyle (W(t):t\in [0,1])}$, tiam la principo de reflektado permesas al ni pruvi, ke la loko de maksimumoj ${\displaystyle t_{\text{max}}}$, kiuj kontentigas ${\displaystyle W(t_{\text{max}})=\sup _{0\leq s\leq 1}W(s)}$, havas la arksinusan distribuon. Tio estas unu el la arksinuoj de Lévy.^[3]

Vidu ankaŭ

• Reflekto

Referencoj