En matematiko, primofaktorialo estas produto de la unuaj primoj.
La primofaktorialo havas du similajn sed malsamajn signifojn.
La nomo estas konstruita el la vortoj primo kaj faktorialo.
n#
n# por n≥1 estas difinita kiel produto de ĉiuj primoj, kiuj estas ne pli grandaj ol n.
La vico ankaŭ inkluzivas 1# = 1 kiel malplenan produton.
La ekvivalenta rikura difino estas
La unuaj primofaktorialoj n# por n=1, 2, 3 ... 12 estas:
- 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.
Ĉiu elemento de tiu ĉi vico por neprima n estas sama kiel la antaŭa elemento.
Ekzemple, 7# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 7:
- 7# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210
8# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 8:
- 8# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210
kio egalas al 7#. Ankaŭ 9# kaj 10# havas la saman valoron, sed
- 11# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310
pn#
Se pn estas la n-a primo, do la primofaktorialo pn# estas produto de la unuaj n primoj:
La unuaj kelkaj primofaktorialoj pn# estas:
La vico ankaŭ inkluzivas p0# = 1 kiel malplena produto.
Ekzemple, p4# estas produto de la unuaj 4 primoj:
- p4# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210
kaj, p5# estas produto de la unuaj 5 primoj:
- p4# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310
Propraĵoj
Estas idento
kie, π(n) estas la primo-kalkulanta funkcio, donanta kvanton de primoj ne pli grandaj ol n.
Natura logaritmo de primofaktorialo log (n#) estas la unua funkcio de Ĉebiŝev, skribata kiel aŭ , kiu proksimiĝas al lineara n por granda n. Tiel asimptote primofaktorialo n# kreskas kiel:
aŭ pli konkrete
Asimptote primofaktorialo pn# kreskas kiel:
kie exp (x) = ex estas la eksponenta funkcio kaj "o" estas la malgranda o.
Ĉiu alte komponigita nombro estas produto de primofaktorialoj (ekzemple 360 = 2·6·30).
Ĉiu valoro de primofaktorialo kvadrato-libera entjero kaj havas pli multajn malsamajn primajn faktorojn ol ĉiu nombro pli malgranda ol ĝi. Por ĉiu valoro primofaktorialo n#, la frakcio φ(n#)/(n#) estas pli malgranda ol φ(x)/x por ĉiu entjero x, x<n#, kie φ estas la eŭlera φ funkcio.
Ĉiu plene multiplika funkcio estas difinita per ĝiaj valoroj je primofaktorialoj, pro tio ke ĝi estas difinita per ĝiaj valoroj je primoj, kiuj povas esti rekalkulitaj per divido de najbaraj valoroj je primofaktorialoj.
Primofaktorialoj raperas en la serĉoj de primoj en aritmetikaj vicoj. Ekzemple, 2236133941 + 23# estas primo komenca en vico de 13 primoj, trovataj per sinsekva adicio de 23#, kaj finiĝanta kun 5136341251. 23# estas ankaŭ la komuna diferenco en aritmetikaj vicoj de 15 kaj 16 primoj.
Tabelo de primofaktorialoj
n | n# | pn | pn# |
---|---|---|---|
0 | 1 | ||
1 | 1 | 2 | 2 |
2 | 2 | 3 | 6 |
3 | 6 | 5 | 30 |
4 | 6 | 7 | 210 |
5 | 30 | 11 | 2310 |
6 | 30 | 13 | 30030 |
7 | 210 | 17 | 510510 |
8 | 210 | 19 | 9699690 |
9 | 210 | 23 | 223092870 |
10 | 210 | 29 | 6469693230 |
11 | 2310 | 31 | 200560490130 |
12 | 2310 | 37 | 7420738134810 |
13 | 30030 | 41 | 304250263527210 |
14 | 30030 | 43 | 13082761331670030 |
15 | 30030 | 47 | 614889782588491410 |
Vidu ankaŭ
- Primofaktoriala primo
- Faktorialo
- Eŭlera φ funkcio
- Primo-kalkulanta funkcio
Eksteraj ligiloj
Eric W. Weisstein, Primofaktorialo en MathWorld. A034386 en OEIS n# A002110 en OEIS pn# A000720 en OEIS primo-kalkulanta funkcio π(n) Eric W. Weisstein, Funkcioj de Ĉebiŝev en MathWorld.