Polinomo de Legendre estas unu el polinomoj, kiuj estas difinataj per formulo (Rodriguesa formo, reference al franca matematikisto Olinde Rodrigues) :

${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,\ldots )}$

aŭ en publika formo:

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{i}{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.}$

Ekvacio de Legendre

La ekvacio de Legendre estas la sekvanta: ${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)y=0}$

Polinomo de Legendre de grado n estas ${\displaystyle P_{n}}$ (pri ĉiu entjera nombro n), kiu estas solvo de la antaŭa ekvacio :

${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P_{n}(x)}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)P_{n}(x)=0,\qquad P_{n}(1)=1.}$

Oni povas konsideri ${\displaystyle P_{n}=P_{n}^{(0,0)}}$, kiam ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$ indikas polinomon de Jacobi kun indico n ligita al parametroj α kaj β.

La ĉisupra ekvacio estas ligita al laplaca ekvacio ${\displaystyle \Delta \psi \ =\ 0}$, kiam oni serĉas ties solvoj kaj kiam ĝi estas skribita en sferaj koordinatoj; ekzemple pri elektrostatika problemo, kie la ŝarga denseco estas nula aŭ en vakuo.

Genera funkcio

Polinomoj de Legendre estas koeficientojn en serio de Maclaurin de funkcio ${\displaystyle G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}}$,

do estas formulo:

${\displaystyle G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(x)t^{l}}$

Atributoj de polinomoj

• rikura formulo: ${\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\ldots )}$
• orteco en intervalo [-1,1]: ${\displaystyle \langle P_{m},P_{n}\rangle =\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x=0\qquad \mathrm {pour} \qquad m\neq n}$

Ekzemploj de polinomoj

n	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle x\,}$
2	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}$
3	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}$
4	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,}$
5	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,}$
6	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}$
7	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,}$
8	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,}$
9	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,}$
10	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}$

Skemoj

Vidu ankaŭ

• Akompanaj funkcioj de Legendre