Egaleco de orditaj duopoj

Neformale, ordita duopoj estas kolekto de du elementoj, tiaj ke la egaleco inter du orditaj duopoj postulas egalecon inter la du unuaj elementoj kaj egalecon inter la du lastaj elementoj. Simbole, du duopoj ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ kaj ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ estas egalaj se kaj nur se ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ kaj ${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$.

${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\iff \left(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\right)}$

Tio estas la difina karakteriza kvalito de orditaj duopoj.

Rimarku, ke la ĉi-supraĵo ne estas ekvivalenta al egaleco de du aroj de grando 2:

${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}\iff \left((a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2})\lor (a_{1}=b_{2}\land a_{2}=b_{1})\right)}$

Je la egaleco de orditaj duopoj, la ordo gravas; je la egaleco de duelementaj aroj, la ordo ne gravas.

Formaligo

Ordinare, la matematiko estas fondita sur formale aksiomigita aroteorio, en kiu la koncepto de ordita duopo ne estas fundamenta, sed difinita per la koncepto de aroj.

Per aroj, la koncepto de la ordita duopo estas difinebla plurmaniere. Unu ofte uzata elekto estas la propono de pola matematikisto Kazimierz Kuratowski, jene:

${\displaystyle (a,b)\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\{\{a\},\{a,b\}\}}$.

Aliaj difinoj ankaŭ eblas: ekzemple, jen la difino de Norbert Wiener:

${\displaystyle (a,b)_{\text{Wiener}}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\{\{\{a\},\varnothing \},\{\{b\}\}\}}$.

Ajna difino sufiĉas, se ĝi plenumas la difinantan kondiĉon de la ordita duopo.