Integralo laŭ subdomajnoj

${\displaystyle \int _{D_{1}+D_{2}}\,dv=\int _{D_{1}}f(v)\,dv+\int _{D_{2}}f(v)\,dv}$

kie D₁ kaj D₂ estas la subdomajnoj kies unio estas D : ${\displaystyle D_{1}\cap D_{2}=D}$ kaj kiuj ne interkovriĝas ${\displaystyle D_{1}\cap D_{2}=\varnothing }$,

La formulo

${\displaystyle \int _{D_{1}+D_{2}}\,dv=\int _{D_{1}}f(v)\,dv+\int _{D_{2}}f(v)\,dv}$

veras ankaŭ en okazo kiam la subdomajnoj D₁ kaj D₂ interkovriĝas nur en aro de mezuro 0 kaj la funkcio f(v) estas normala. En ĉi tiu okazo ĉi tiu formulo povas esti malvera sen taŭga konsidero se la diraka delta funkcio estas uzata en subintegrala esprimo.

Konservado de neegalaĵoj

Se ekzistas ${\displaystyle \int _{D}f(v)\,dv}$ kaj ${\displaystyle \int _{D}g(v)\,dv}$ kaj por ĉiu v en D veras neegalaĵo f(v)≤g(v). Tiam la neegalaĵo veras ankaŭ por integraloj

${\displaystyle \int _{D}f(v)\,dv\leq \int _{D}g(v)\,dv}$

Integrala neegalaĵo de triangulo

La sekva propraĵo povas esti konsiderata kiel ĝeneraligo de la neegalaĵo de triangulo:

${\displaystyle \left|\int _{D}f(v)\,dv\right|\leq \int _{D}|f(v)|\,dv}$

Integralo de konstanta funkcio

Ĉe konstanta funkcio, la rezulto de integralado egalas al produto de mezuro de la aro per la konstanta funkcio c. Se c=1, kaj estas integralado super subregiono de R² la produto donas areon de la regiono, dum en R³ ĝi donas volumenon de la regiono.

Averaĝo de funkcio

Simile al la okazo de unu variablo, la obla integralo donas la averaĝon de la funkcio super donita aro. Se estas donita aro D en Rⁿ kaj integralebla funkcio f super D, do la averaĝo de f super la domajno D estas donita per

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(v)\,dv={\frac {\int _{D}f(v)\,dv}{\int _{D}1dv}}}$

kie v estas n-dimensia vektoro kaj m(D) estas la mezuro de D.

Prezento de domajno en ripetita integralado

Se la domajno T ne estas ortangulo, prezento de ĝi en ripetita integralo bezonas apartan zorgon. La trairo povas esti malsimpla aŭ eĉ praktike neebla; sube donitaj formuloj respektivas al okazoj de sufiĉe simpla formo de la domajno.

Se la domajno T estas tia ke perpendikulare al la x-akso ĝi estas rekta streko en intersekco kun ĉiu rekto x=x₀ por a<x₀<b kaj tiel ĝiaj randoj estas donitaj per kontinuaj funkcioj α(x) kaj β(x) difinitaj en intervalo [a, b], do la intergralo super T povas esti kalkulita kiel:

${\displaystyle \iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy}$

Se D estas mezurebla domajno perpendikulara al la y-akso kaj ${\displaystyle f:D\longrightarrow \mathbb {R} }$ estas kontinua funkcio; tiam α(y) kaj β(y) (difinitaj en la [a, b] intervalo) estas la du funkcioj kiuj difinas D. Tiam:

${\displaystyle \iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx}$

Ekzemplo de domajno en R3

Ĉi tiuj formuloj povas esti ĝeneraligitaj al pli multaj dimensioj. Ekzemple por trioblaj integraloj:

T estas domajno tia ke perpendikulare al la xy-ebeno, la randoj je z estas donitaj per la funkcioj α (x, y) kaj β(x, y), kaj la areo en la xy-ebeno, al kiu proekciiĝas T, estas D. Tiam:

${\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}\left(\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)dx\,dy}$

La sendependa variablo, randoj je kiu estas donataj per la du funkcioj, povas esti ajna.

Ekzemplo

Ekzemplo de regiono de integralado

Estu regiono: ${\displaystyle D=\{(x,y)\$ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}} . Kalkulu

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy}$

Tiam

α(x) = x²

β(x) = 1

a = 0

b = 1

kaj

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy\,dx=\int _{0}^{1}\ \left(xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right)|_{y=x^{2}}^{1}\,dx}$

(komence la ena integralo estas kalkulita konsiderante x kiel konstanto). Plu

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right)|_{y=x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx={\frac {13}{20}}}$

La alia ebleco estas kalkuli kun uzo de la radoj α(y) kaj β(y) kiel

${\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx}$

kaj ricevi la saman valoron.

Polusaj koordinatoj en 2 dimensioj

Transformo de kartezia al polusaj koordinatoj.

En R² se la domajno havas cirklan simetrion aŭ la funkcio estas pli simpla en polusaj koordinatoj, la transformo al polusaj koordinatoj povas plisimpligi la integraladon.

La polusaj koordinatoj estas

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

kaj

f(x, y) = f(ρ cos (φ), ρ sin (φ))

La jakobia determinanto de la transformo estas

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho }$

kiu havas estas ricevata per meto de la partaj derivaĵoj de x = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ) en la unuan kolumnon kun respekto al ρ kaj en la duan kun respekto al φ.

Tiam

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi }$

Por kovri la tutan R² de la fontaj koordinatoj, la variablo φ ŝanĝiĝas tra intervalo de longo 2π, ekzemple [-π, π] aŭ [0, 2π]; ρ ŝanĝiĝas tra nenegativaj valoroj. Pluaj limigoj je ŝanĝiĝo de la koordinatoj estas donataj per randoj de la domajno.

Ekzemplo de domajna transformo de kartezia al polusa.

Ekzemplo

La funkcio estas ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}\!}$. Tiam

${\displaystyle f(\rho ,\varphi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=\rho ^{2}\,\!}$

kaj la funkcio sub integralo estas pli simpla

Ekzemplo

La domajno estas ${\displaystyle D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!}$, tio estas cirklo de radiuso 2. Gi povas kovrita se φ varias ekde 0 ĝis 2π kaj r ekde 0 ĝis 2.

Cilindraj koordinatoj en 3 dimensioj

Cilindraj koordinatoj.

La cilindraj koordinatoj en 3 dimensioj estas

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

kaj la variablo z estas daŭre uzata neŝanĝita. Tiam

f(x, y, z) = f(ρ cos (φ), ρ sin (φ), z)

La jakobia determinanto de la transformo estas

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,z)}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=\rho }$

Tiam

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}$

Por kovri la tutan R³ de la fontaj koordinatoj, la variablo φ ŝanĝiĝas tra intervalo de longo 2π, ekzemple [-π, π] aŭ [0, 2π]; ρ ŝanĝiĝas tra nenegativaj valoroj; z ŝanĝiĝas tra ĉiuj reelaj nombroj. Pluaj limigoj je ŝanĝiĝo de la koordinatoj estas donataj per randoj de la domajno.

Ekzemplo

La funkcio estas ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!}$ kaj kiel integralada domajno ĉi tiu cilindro:

${\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}}$.

La transformo de D en cilindrajn koordinatojn estas jena

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}}$

La funkcio en cilindraj koordinatoj estas

${\displaystyle f(\rho \ \cos \varphi ,\rho \ \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z\!}$

La integralo estas

${\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;}$

${\displaystyle \int _{-5}^{5}\left(\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,d\rho \right)dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right)|_{\rho =0}^{3}\,dz}$

${\displaystyle =2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =855\pi }$

Sferaj koordinatoj en 3 dimensioj

Sferaj koordinatoj

En R³ se la domajno havas sferan simetrion aŭ la funkcio estas pli simpla en sferaj koordinatoj, la transformo al sferaj koordinatoj povas plisimpligi la integraladon.

La sferaj koordinatoj en 3 dimensioj estas

x = ρ cos (θ) sin (φ)

y = ρ sin (θ) sin (φ)

z = ρ cos (φ)

f(x, y, z) = f(ρ cos (θ) sin (φ), ρ sin (θ) sin (φ), ρ cos (φ))

La jakobia determinanto de la transformo estas

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi }$

Tiam

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \theta \cos \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \theta )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$

Por kovri la tutan R³ de la fontaj koordinatoj, la variablo θ ŝanĝiĝas tra intervalo de longo 2π, ekzemple [-π, π] aŭ [0, 2π]; φ ŝanĝiĝas inter 0 kaj π; ρ ŝanĝiĝas tra nenegativaj valoroj. Pluaj limigoj je ŝanĝiĝo de la koordinatoj estas donataj per randoj de la domajno.

Ekzemplo

La domajno estu ${\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16}$ (sfero kun radiuso 4 kaj centro en la fonto); aplikante la transformon rezulras regiono ${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}$.

La funkcio estu ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\!}$.

Ĝia transformo estas

${\displaystyle f(\rho \sin \theta \cos \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \theta )=\rho ^{2}}$

Pro la integralo estas:

${\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$

kaj

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\varphi =}$

${\displaystyle =2\pi \left({\frac {\rho ^{5}}{5}}\right)|_{\rho =0}^{4}\left(-\cos \theta \right)|_{\theta =0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}}$