Eŭklida normo

Sur Rⁿ, la eŭklida distanco, intuicia nocio de longo de la vektoro x = [x₁, x₂, ..., x_n] estas

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Ĉi tiu donas la ordinaran distancon de la fonto al x, konsekvenco de la pitagora teoremo. La eŭklida normo estas la plej kutime uzita normo sur Rⁿ, sed estas la aliaj normoj sur ĉi tiu vektora spaco kiuj estas montritaj pli sube.

Sur Cⁿ la plej komuna normo estas

${\displaystyle \|\mathbf {z} \|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}.}$, ekvivalento de la eŭklida normo sur R²ⁿ.

En ĉiu okazo oni povas ankaŭ esprimi la normon kiel la kvadrata radiko de la ena produto de la vektoro al si. La eŭklida normo estas ankaŭ nomata kiel la l².

Taksia normo aŭ Manhatana normo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Taksia geometrio.

${\displaystyle \|x\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.}$

La nomo rilatas al la distanco kiun taksio havas por traveturi rektangulan stratan kradon.

p-normo

Estu p≥1 reela nombro.

${\displaystyle \|x\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

Noto ke por p=1 ĝi estas la taksia normo kaj por p=2 ĝi estas la eŭklida normo.

Malfinia normo aŭ maksimuma normo

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).}$

Ĉi tiu estas la normo al kiu konverĝas la p-normo kiam p kreskas malfinie.

Nula normo

En la maŝina lerno kaj optimumigo, ofte estas uzata la nula normo. La nula normo de x estas difinita kiel ${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 0}\|x\|_{p}^{p},}$ kie ${\displaystyle \|x\|_{p}}$ estas la p-normo difinita pli supre. Definante ${\displaystyle 0^{0}\equiv 0}$, oni povas skribi la nulan normon kiel ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{0}}$. La nula normo de x estas simple la kvanto de nenulaj eroj de x. Malgraŭ ĝia nomo, la nula normo ne estas vera normo; aparte, ĝi estas ne pozitive homogena.

Aliaj normoj

Alia normoj sur Rⁿ povas esti konstruitaj per kombinigo de tiuj la pli supre menciitaj; ekzemple

${\displaystyle \|x\|:=2|x_{1}|+{\sqrt {3|x_{2}|^{2}+\max(|x_{3}|,2|x_{4}|)^{2}}}}$

estas normo sur R⁴.

Por ĉiu normo kaj ĉiu bijekcia lineara transformo A oni povas difini nova normo de x, egalan al ${\displaystyle \|Ax\|}$. En 2D, kun A - turnado per 45° kaj taŭga skaligo, ĉi tiu ŝanĝas la taksian normon en la maksimuman normon. En 2D, ĉiu A aplikita al la taksia normo, krom al inversigo kaj interŝanĝanta de aksoj, donas malsaman unuoblan pilkon: paralelogramo de aparta formo, amplekso kaj orientiĝo. En 3D ĉi tiu estas simila sed malsama por la 1-normo (okedro) kaj la maksimuma normo (prismo kun paralelograma bazo).

Ĉiu pli supre donitaj formuloj ankaŭ donas normojn sur Cⁿ sen ŝanĝo.

Okazo de nefiniaj dimensioj

La ĝeneraligo de la normoj pli supre donitaj al nefinia kvanto de komponantoj kondukas al la Lp spacoj kun normoj

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

${\displaystyle \|f\|_{p,X}=\left(\int _{X}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}}$

(por komplekso-valoraj vicoj x kaj funkcioj f difinitaj sur ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$), kiu povas esti plu ĝeneraligita (vidu en mezuro de Haar).

Ĉiu ena produto konkludas en natura vojo al normo ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

Alia ekzemploj de nefiniaj dimensiaj normigitaj vektoraj spacoj povas troviĝi en la banaĥa spaco.