En lineara algebro, pozitive difinita matrico estas n×n matrico M tia ke z^*Mz > 0 por ĉiu nenula kompleksa vektoro z, kie z^* signifas la konjugitan transponon de z.

Por reela matrico la difino povas esti plisimpligita. Reela simetria matrico pozitive difinita matrico estas n×n matrico M tia ke z^TMz > 0 por ĉiu nenula vektoro z kun reelaj elementoj (kio estas z ∈ Rⁿ), kie z^T signifas la transponon de z.

Por ke eblu la komparo z^*Mz > 0, necesas ke z^*Mz estu reela por ĉiu z, ĉar por ĝeneralaj kompleksaj nombroj la rilato > ne estas difinita. Pro tio la matrico devas esti memadjunkta matrico (hermita matrico). Vidu sube pri la okazo de ne memadjunkta matrico.

La n×n memadjunkta matrico M estas negative difinita se

z^*Mz < 0

por ĉiu nenula kompleksa vektoro z (nenula reela vektoro en okazo de reela simetria matrico).

Ĝi estas nomata kiel pozitive duondifinita se

z^*Mz ≥ 0

por ĉiu kompleksa vektoro z (reela vektoro en okazo de reela simetria matrico).

Ĝi estas nomata kiel negative duondifinita se

z^*Mz ≤ 0

por ĉiu kompleksa vektoro z (reela vektoro en okazo de reela simetria matrico).

En difinoj de la duondifinitaj matricoj ne bezonatas postuli ke la vektoro estu nenula.

Memadjunkta matrico kiu estas nek pozitive duondifinita nek negative duondifinita estas nomata kiel nedifinita.

La pozitive difinitaj matricoj estas je multaj flankoj analogaj al pozitivaj reelaj nombroj. La nocio estas proksime rilatanta al pozitive difinita simetria dulineara funkcio en reela okazo aŭ seskvilineara formo en la kompleksa okazo.

Ekvivalentaj kondiĉoj

Estu M esti n×n memadjunkta matrico. Jenaj propraĵoj estas ekvivalentaj al tio ke M estas pozitive difinita:

• Ĉiuj kondukaj ĉefaj minoroj estas pozitivaj (la kriterio de James Joseph Sylvester). En aliaj vortoj, ĉiuj sekvaj matricoj havas pozitivajn determinantojn:
  • la supra maldekstra 1×1 angulo de M
  • la supra maldekstra 2×2 angulo de M
  • la supra maldekstra 3×3 angulo de M
  • ...
  • M entute

• Ĉiuj ajgenoj λ_i de M estas pozitivaj. Ĉiu memadjunkta matrico laŭ la spektra teoremo povas esti estimita kiel reela diagonala matrico D en iu nova koordinatosistemo, kio estas, M = P⁻¹DP por iu unita matrico P kies linioj estas ortonormalaj ajgenvektoroj de M, formantaj bazon. Tiel ĉi tiu karakterizado signifas ke M estas pozitiva difinita se kaj nur se la diagonalaj eroj de D (la ajgenoj) estas ĉiuj pozitivaj. En aliaj vortoj, en la bazo konsistanta el la ajgenvektoroj de M, la ago de M je vektoro estas laŭkomponanta multipliko per fiksitaj pozitivaj nombroj.

• Seskvilineara formo

  ${\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}$

  difinas enan produton sur Cⁿ. Fakte, ĉiu ena produto sur Cⁿ estas donita en ĉi tiu maniero per iu memadjunkta pozitive difinita matrico.

• M estas la grama matrico de iu kolekto de lineare sendependaj vektoroj

  ${\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}}$

  por iu k. Tio estas, M kontentigas

  ${\displaystyle M_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}}$

  En aliaj vortoj, M estas de formo A*A kie A estas ne nepre kvadrata sed devas esti disĵeta (enjekcia) ĝenerale.

• Ekzistas unika suba triangula matrico L, kun severe pozitivaj diagonalaj eroj, kiu permesas faktorigon de M kiel M=L L^*.

  Ĉi tiu faktorigo estas nomata kiel malkomponaĵo de Cholesky.

Matrico M estas pozitive duondifinita se kaj nur se ĝi estas la grama matrico de iu aro de vektoroj. En kontrasto al la pozitive difinita okazo, ĉi tiuj vektoroj ne nepre estas lineare sendependa. Tiel, por ĉiu matrico A, matrico A^*A estas pozitive duondifinita, kaj rango(A) = rango(A^*A). Reen, ĉiu pozitive duondifinita matrico M povas esti skribita kiel M = A^*A; ĉi tio estas la malkomponaĵo de Cholesky.

Matrico estas negative difinita se ĉiu konduka ĉefa minoro de k-a ordo estas negativa por nepara k kaj pozitiva por para k.

Por reela simetria matrico, ĉi tiuj kondiĉoj povas esti plisimpligitaj per anstataŭigo de Cⁿ per Rⁿ kaj de konjugita transpono per transpono.

Partaj ordoj

Se M estas pozitive duondifinita, oni iam skribas ĉi tion kiel M≥0 kaj se M estas pozitive difinita unu skribas M > 0. La nocio venas de funkcionala analitiko kie pozitive difinitaj matricoj difinas pozitivajn operatorojn. Ĉi tiu skribmaniero povas esti konfuzanta, pro tio ke iam nenegativaj matricoj estas ankaŭ skribataj ĉi tiel. Komuna alternativa skribmaniero estas ${\displaystyle M\succeq 0}$ kaj ${\displaystyle M\succ 0}$ por pozitive duondifinita kaj pozitive difinita matricoj respektive.

Por du kvadrataj n×n matricoj M kaj N, oni skribas ke M≥N se kaj nur se M-N≥0, kio estas ke M-N estas pozitive duondifinita. Ĉi tio difinas parta ordon sur la aro de n×n kvadrataj matricoj. Oni skribas ke M>N se kaj nur se M-N>0, kio estas ke M-N estas pozitive difinita. Ĉi tio difinas striktan partan ordon sur la aro de n×n kvadrataj matricoj.

Propraĵoj

• Se M estas pozitive difinita, tiam M estas ankaŭ pozitive duondifinita.
• Se M estas negative difinita, tiam M estas ankaŭ negative duondifinita.

• Multipliko je reela skalaro:
  • Se r>0 estas reela nombro, tiam:
    • Se M estas pozitive difinita do rM estas pozitive difinita.
    • Se M estas negative difinita do rM estas negative difinita.
    • Se M estas pozitive duondifinita do rM estas pozitive duondifinita.
    • Se M estas negative duondifinita do rM estas negative duondifinita.
  • Se r<0 estas reela nombro, tiam:
    • Se M estas pozitive difinita do rM estas negative difinita.
    • Se M estas negative difinita do rM estas pozitiva difinita.
    • Se M estas pozitive duondifinita do rM estas negative duondifinita.
    • Se M estas negative duondifinita do rM estas pozitive duondifinita.
  • Se r≥0 estas reela nombro, tiam:
    • Se M estas pozitive difinita do rM estas pozitive duondifinita.
    • Se M estas negative difinita do rM estas negative duondifinita.
    • Se M estas pozitive duondifinita do rM estas pozitive duondifinita.
    • Se M estas negative duondifinita do rM estas negative duondifinita.
  • Se r≤0 estas reela nombro, tiam:
    • Se M estas pozitive difinita do rM estas negative duondifinita.
    • Se M estas negative difinita do rM estas pozitiva duondifinita.
    • Se M estas pozitive duondifinita do rM estas negative duondifinita.
    • Se M estas negative duondifinita do rM estas pozitive duondifinita.

  Tiel per konsidero de M=-S eblas trairi de pozitive difinita matrico al la negative difinita kaj reen, kaj de pozitive duondifinita matrico al la negative duondifinita kaj reen. Tiel multaj donitaj propraĵoj povas esti reskribitaj por negative difinitaj kaj negative duondifinitaj matricoj.

• Sumo de matricoj:
  • Se M kaj N estas pozitive difinitaj, tiam sumo M+N estas pozitive difinita.
  • Se M kaj N estas negative difinitaj, tiam sumo M+N estas negative difinita.
  • Se M kaj N estas pozitive duondifinitaj, tiam sumo M+N estas pozitive duondifinita.
  • Se M kaj N estas negative duondifinitaj, tiam sumo M+N estas negative duondifinita.
  • Se M estas pozitive difinita kaj N estas pozitive duondifinitaj, tiam sumo M+N estas pozitive difinita.
  • Se M estas negative difinita kaj N estas negative duondifinitaj, tiam sumo M+N estas negative difinita.

  Pruvo: z^*(M+N)z = z^*(Mz+Nz) = z^*Mz + z^*Nz

  Tiel se signoj de z^*Mz kaj z^*Nz estas sciataj kaj la samaj do ankaŭ signo de z^*(M+N)z estas tia.

• Ĉiu pozitive difinita matrico estas inversigebla kaj ĝia inverso estas ankaŭ pozitiva difinita. Se M≥N kaj N>0 tiam N⁻¹≥M⁻¹ kaj M⁻¹>0.

• Se M kaj N estas pozitive difinitaj, tiam produtoj MNM kaj NMN estas pozitive difinitaj. Se MN = NM, tiam ankaŭ MN estas pozitive difinita.

• Se M=(m_ij) > 0 tiam la diagonalaj elementoj m_ii estas reelaj kaj pozitivaj. Pro tio la spuro tr(M)>0. Plu estas neegalaĵoj inter eroj de la matrico:

  ${\displaystyle |m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}}$

• Matrico M estas pozitive difinita se kaj nur se estas pozitive difinita matrico B, nomata kiel la kvadrata radiko de B, tia ke BB = B² = M. Ĉi tio estas skribata kiel B = M^1/2. Ĉi tiu matrico B estas unika (sed nur se estas la kondiĉo ke B>0). Se M>N>0 tiam M^1/2>N^1/2>0.

• Se M>0 kaj N>0 tiam ${\displaystyle M\otimes N>0}$, kie ${\displaystyle \otimes }$ estas produto de Kronecker.

• Por matricoj M=(m_ij) kaj N=(n_ij) estu ${\displaystyle M\circ N}$ la laŭelementa produto (produto de Hadamard) de M kaj N, kio estas la matrico kies i, j elemento estas m_ij n_ij. Tiam se M>0 kaj N>0 do ${\displaystyle M\circ N>0}$ kaj se aldone M kaj N estas reelaj matricoj do jena neegalaĵo de Oppenheim veras: ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}}$.

• Estu M>0 kaj estu N memadjunkta. Tiam se MN+NM≥0 do N≥0; se MN+NM>0 do N>0.

• Se M>0 estas reela, tiam ekzistas reela nombro x, x>0, tia ke M≥xI kie I estas la identa matrico.

• Se M>0 kaj N>0 kaj M kaj N estas reelaj matricoj tiam tr(MN)≥0.

• Ĉe pozitive duondifinitaj matricoj, ĉiuj kondukaj ĉefaj minoroj estas nenegativaj, sed ĉi tio ne estas sufiĉa kondiĉo de la pozitiva duondifiniteco. La kontraŭekzemplo estas matrico

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-10\\1&1&-10\\-10&-10&1\end{bmatrix}}}$

  Ĝiaj kondukaj ĉefaj minoroj estas 1, 0, 0, do ĉiuj nenegativaj. Sed por vektoro ${\displaystyle z={\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}}$, z^*Mz = -35 < 0, tiel la matrico ne estas pozitive duondifinita.

• Por kompleksa memadjunkta matrico M tio ke por ĉiu reela vektoro x veras x^*Mx > 0 ne estas sufiĉa kondiĉo de tio ke M estas pozitive difinita. La kontraŭekzemplo estas matrico ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&10i\\-10i&1\end{bmatrix}}}$. Tiam por ĉiu nenula reela vektoro ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$, x^*Mx = a² + b² > 0. Sed por ne reela vektoro ${\displaystyle z={\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}}$, z^*Mz = -18.

Okazo de ne memadjunkta matrico

Ne simetria reela matrico M (tiam, ĝi estas ne memadjunkta matrico) povas esti tia ke x^TMx > 0 por ĉiu nenula reela vektoro x. Ĝenerale, x^TMx > 0 por ĉiu reela nenula vektoro x se kaj nur se la simetria parto (M + M^T) / 2 estas pozitive difinita. Ekzemple matrico

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}$

havas ĉi tiun propraĵon, ĉar por ĉiu nenula reela vektoro ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle x^{T}Mx={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}>0}$

Por kompleksa matrico, se z^*Mz estas reela por ĉiuj kompleksaj vektoroj z, tiam la matrico M estas nepre memadjunkta. Se ne postuli ke z^*Mz estas reela eblas doni kondiĉon ke Re(z^*Mz) > 0 por ĉiuj kompleksaj nenulaj vektoroj z; la kondiĉo estas kontentigata se kaj nur se la memadjunkta parto (M + M^*) / 2 estas pozitive difinita.

Ne estas konsento en literaturo pri difino de pozitive difinita por ne memadjunktaj matricoj.

Vidu ankaŭ

• Pozitive difinita
• Pozitive difinita funkcio
• Pozitive difinita dulineara funkcio
• Pozitive difinita kerno
• Seskvilineara formo
• Kvadrata formo
• Kvadrata radiko de matrico
• Malkomponaĵo de Cholesky
• Komplemento de Schur
• Entute pozitiva matrico
• Pozitiva ero - analogo de la pozitive difinita matrico en malfinie-dimensia hilberta spaco