Energia funkcio

La energio de Ising-a modelo estas difinita kiel:

${\displaystyle E=-\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}\,}$

kie la sumo kalkulas ĉiun paron de spino nur unufoje. Oni rimarkas ke la produkto de spinoj estas aŭ +1, se la du spinoj estas la samaj (enliniigitaj), aŭ −1 se ili estas malsamaj (malenliniigitaj). J estas duono de la diferenco en energio inter la du eblecoj. Magnetaj interrilatadoj provas vicigi proksimaj spinoj. Spinoj fariĝitas hazardaj kiam varmenergio estas pli granda ol la forto de la interrilatado.

Por ĉiu paro, se

${\displaystyle J_{ij}>0}$ la interagado estas nomita feromagneta

${\displaystyle J_{ij}<0}$ la interagado estas nomita kontraŭ-feromagneta

${\displaystyle J_{ij}=0}$ la spinoj estas ne-interagantaj

Feromagneta interagado emas vicigi spinojn, kaj kontraŭ-feromagneta emas kontraŭvicigi ilin.

La spinoj povas esti pripensataj kiel loĝantaj sur grafeo, kie ĉiu nodo havas ĝuste unu spinon, kaj ĉiu rando konektas du spinojn kun nenula valoro de J. Se ĉiuj J estas egalaj, estas oportuna mezuri energion en unuoj de J. Do modelo estas tute specifita per la grafeo kaj la signumo de J.

Simpla ekzemplo

La kontraŭ-feromagneta unu-dimensia modelo de Ising havas jenan energifunkcion:

${\displaystyle E=\sum _{i}S_{i}S_{i+1}\,}$

kie i kuras tra ĉiuj entjeroj. Ĉi tio interrilatigas ĉiun paron de tre proksimaj najbaro.

La feromagneta du-dimensia modelo de Insing sur kvadrata krado estas kolekto de spinoj ${\displaystyle S_{i,j}}$ sur ĉiu nodo (i,j) de du-dimensia kvadrata krado kaj la energio estas:

${\displaystyle E=-\sum _{ij}(S_{i,j}S_{i,j+1}+S_{i,j}S_{i+1,j}).\,}$

Rimarku, ke la adicio interrilatigas ĉiun situon kun ĝia dekstra najbaro kaj ĝia suba najbaro. Tiele, ĉiu eĝo estas kalkulita nur unufoje.

La Ising-a modelo de averaĝa kampo estas la modelo de Ising sur kompleta grafeo, kie ĉiu vertico estas konektita kun ĉiu restanta vertico:

${\displaystyle E=-\sum _{i<j}S_{i}S_{j}\,.}$

Magneta kampo

La energio de Ising-a modelo povas esti modifata por influi la tutan sistemon. Magneta kampo ${\displaystyle h_{i}}$ povas esti adiciata al la energio, kaj ĝi rompas la simetrion, La kompleta energifunkcio estas:

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}\,}$

kie la krampoj indikas, ke i kaj j indicas proksimajn poziciojn sur la grafeo.

Statistiko

La modelo estas statistika modelo, do la energio estas vere la logaritmo de la probablo. La probablo de ĉiu spino-stataro estas la distribuo de Boltzmann kun inversa temperaturo β.

${\displaystyle P(S)\propto e^{-\beta E}\,.}$

Por generi spino-statarojn, uzante ĉi tiun probablodistribuon, estas koncepte plej facila uzi la Metropolis-algoritmon:

1. Elektu spinon hazarde kaj kalkulu la kontribuon de ĉi-tiu spino al la energio.
2. Inversigu la spinvaloron kaj kalkulu la novan kontribuon.
3. Se la energio estas pli malgranda, konservu la inversigitan valoron.
4. Se la energio estas pli granda, konservu la inversigitan valoron per probablo ${\displaystyle e^{-\beta \Delta E}}$
5. Refaru ekde la unua punkto

La ŝanĝo de energio ${\displaystyle \Delta E}$ dependas nur de spinvaloro kaj ĝiaj grafeonajbaroj. Do se la grafeo ne estas tro konektata, la algoritmo estas rapida. Ĉi-tiu procedo fine produktas pinton sur la distribuo.

Demandoj

La interesaj statistikaj demandoj estas en la limo de grandaj nombroj:

1. En tipa spino-stataro, ĉu la plej granda parto de spinoj estas +1 (aŭ −1), aŭ ĉu ili estas dividata egale?
2. Se spino (en iu ajn pozicio) estas 1, kio estas la probablo ke la spino en pozicio j ankaŭ estas 1?
3. Se β estus ŝanĝita, ĉu fazoŝanĝo estiĝus?
4. Se J estas hazarda, kiom da malsamaj spino-stataroj estas tie por ĉiu inversa temperaturo?
5. Sur krado, kiu estas la fraktala dimensio de la formo de larĝa aro de +1-spinoj?

Neniu fazo-transiro en limigita volumeno

En la frua parto de dudeka jarcento, iuj kredis ke la partiga funkcio neniam povus karakterizi fazo-transiron, baze sur la sekvonta argumento:

1. La partiga funkcio estas adicio de ${\displaystyle \scriptstyle e^{-\beta E}}$ sur la tutaj statoj.
2. la eksponenta funkcio estas ĉie analiza kiel funkcio ${\displaystyle \beta }$.
3. la adicio de analizaj funkcioj estas analiza.

Sed la logaritmo de la partiga funkcio ne estas analiza kiel funkcio de la temperaturo ĉe fazo-transiro, do la teorio ne funkcias.

Ĉi tiu argumento laboras por limigita sumo de eksponentaj funkcioj, kaj ĝuste establas ke ne estas neordinaraĵoj en la libera energio de sistemo de finia grandeco. Por sistemoj kiuj estas ĉe la termodinamika limo (nome, por senlimaj sistemoj) la senlima adicio povas produkti neordinaraĵojn. La konverĝo al la termodinamika limo estas rapida, tiel ke la fazo-konduto estas ŝajne jam sur relative eta krado, ankaŭ se la neordinaraĵoj estas eliminitaj per la finia grandeco de la sistemo.

Ĉi tiu estis unue establita de Rudolph Peierls en la Ising-a modelo.

Peierls-aj gutetoj

Nelonge post kiam Lenz kaj Ising konstruas la Ising-a modelo, Peierls povis eksplicite montri ke fazo-transiro okazas en du-dimensioj.

Por fari ĉi tio, li komparis la limoj de alta kaj malalta temperaturoj. Ĉe senlima temperaturo (β --> 0), ĉiuj statoj havas egalaj probablecoj. Ĉiu spino estas sendependa de iu ajn alia, kaj se tipaj statoj ĉe senlima temperaturo estas desegnataj, tiel ke plus/minus estas representitaj de nigraj kaj blankaj punktoj, ili similas televidan "neĝon" (bruo). Por altaj, sed ne senlimaj temperaturoj, estas malgrandaj korelacioj inter najbaraj pozicioj: la neĝo emas amasiĝi iomete, sed la ekrano konservas hazardeman bildon, kaj ne estas klaraj ekscesoj de blanko aŭ nigro.

Kvanta mezuro de la eksceso estas la magnetado, kiu estas la averaĝa valoro de la spino:

${\displaystyle M={1 \over N}\sum _{i=0}^{N-1}S_{i}}$

Falsa argumento, kiu similas la argumenton de la lasta sekcio, nun establas ke la magnetado en la Ising-a modelo estas ĉiam nula.

1. Ĉiu spino-stataro havas egalan energion kompare kun la stataro, kiu havas la tutajn spinojn inversiĝitajn.
2. Do por ĉiu spino-stataro kun magnetado M estas stataro kun magnetado -M, kiu havas egalan probablecon.
3. Do la magnetado nulas.

Kiel antaŭ, ĉi tio nur montras ke la magnetado nulas por iu ajn finia volumeno. Por senlima sistemo, variadoj (osciloj) ne povas ŝanĝi la sistemo de plejparte plus-stato al plejparte minus-stato kun ajn malnula probableco.

Por tre altaj temperaturoj, la magnetado nulas, kiel ĉe senlima temperaturo. Por vidi ĉi tion, rimarku ke se spino A havas nur korelacieton ${\displaystyle \epsilon }$ kun spino B, kaj B estas nur malforte korelaciata kun spino C, sed C estas alie sendependa de A, la kvanto de korelacio de A kaj C estas ĉirkaŭ ${\displaystyle \epsilon ^{2}}$. Por du spinoj apartigantaj de distanco L, la kvanto de korelacio estas ĉirkaŭ ${\displaystyle \epsilon ^{L}}$ sed se ekzistas pli ol unu vojo per kiuj la korelacioj povas vojaĝi, ĉi tiu kvanto pliiĝas per la nombro de vojoj.

La nombro de vojoj de longeco L sur kvadrata krado en d-dimensioj estas:

${\displaystyle N(L)=(2d)^{L}\,}$

ĉar estas 2d selektoj ĉe ĉiu paso.

Limo por la totala korelacio estas donata de adiciado sur ĉiuj vojoj ligantaj du punktojn, kiu estas limigata supre per la adicio sur la tutaj vojoj de lungeco L dividita de la :

${\displaystyle \sum _{L}(2d)^{L}(\epsilon )^{L}\,}$

kiu nulas kiam ${\displaystyle \epsilon }$ etas.

Ĉe malaltaj temperaturoj, (β --> oo), la stataroj estas apud la plej malalta statar-energio, tiu kie la tutaj spinoj estas plus aŭ la tutaj spinoj estas minus. Peierls demandis se estas statistike ebla ĉe malalta temperaturo, startante kun la tutaj minus-spinoj, oscili al stato kie plejparto de la spinoj estas plus. Por ke ĉi tio okazu, devas esti ebla ke gutetoj de plus-signo koagulas por formi la plus-stato.

La energio de guto de plus-spinoj, en a minus-fono, estas proporcia al la perimetro L de la guto, kie plus-spinoj kaj minus-spinoj najbaras unu la alia. Por a guto de perimetro L, la areo estas io inter ${\displaystyle (L-2)/2}$ (la rekta linio) kaj ${\displaystyle (L/4)^{2}}$(la kvadrata skatolo). La probableco-kosto, por enkonduki guton, estas la faktoro:

${\displaystyle e^{-\beta L}\,}$

sed ĉi tiu kontribuas al la partiga funkcio multiplikita de la totala nombro de gutoj kun perimetro L, kiu estas malpli ol la totala nombro de vojoj de lungeco L:

${\displaystyle N(L)<4^{2L}\,}$

Tiel ke la guto-kontribuado al la tuta spino, eĉ preterkalkulante per permesi al ĉiu ejo havi apartan gluton, estas supre limigata de:

${\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{-2L}e^{-4\beta L}\,}$

kiu nulas ĉe grandaj ${\displaystyle \beta }$. Por ${\displaystyle \beta }$ sufiĉe granda, ĉi tiu eksponente nuligantaj longaj fermitaj cikloj, tiel ke ili ne povas okazi, kaj la magnetado neniam oscilas tro fora de −1.

Tiel Peierls establas ke la magnetato en la modelo de Ising fine difinas superselektado-sektorojn, nome apartigataj domajnoj kiuj ne estas ligitaj per finiaj osciloj.

Kramers-Wannier dueco

Kramers kaj Wannier povis montri ke la altatemperturo-ekspansio kaj la malaltatemperturo-ekspansio de la modelo estas egalaj per totala skaligo de la libera energio. Ĉi tiu permesis ke la fazotransiro-punkto, en la du-dimensiaj modeloj, esti determinata precize (sub la supozo ke ekzistas unikan kritan punkton).

Yang Lee nuloj

Post Onsager-a solvo, Yang kaj Lee prienketis la manieron laŭ kiu la partiga funkcio neordinariĝas kiel la temperaturo alproksimiĝas al la krita temperturo.

Magnetismo

La originala instigo por la modelo estis la fenomeno de la feromagnetismo. Fero estas magneta; post kiam ĝi magnetiĝis, ĝi restas magnetata dum longa tempo kompare kun ajn atoma tempo.

Ekde la 19a jarcento, estis klara ke magnetaj kampoj estis pro fluoj en materio, kaj Ampère postulis ke kostantaj magnetoj estas kaŭzitaj de kostantaj atomaj fluoj. La moviĝo de klasikaj ŝargitaj partikloj bedaŭrinde ne povas ekspliki kostantaj fluoj, kiel montris Larmor. Por sperti feromagnetismo, la atomoj devas havi kostantajn magnetajn momantojn kiuj ne estas kaŭzita de klasikaj ŝargoj.

Post kiam oni eltrovis la elektronan spinon, estis klara ke magnetismo estis kaŭzita de granda nombro de eletronoj turnantaj laŭ sama direkto. Estis nature demandi kiel ĉiuj elektronoj scias laŭ kiu direkto turni, ĉar la elektronoj sur unu flanko de magneto ne rekte interagas kun la elektronoj sur la alia flanko. Ili povas nur influi iliajn najbarojn. La Ising-a modelo estis destinita por enketi ĉu granda frakcio de la elektronoj povus esti turnita laŭ la sama direkto uzante nur la lokaj fortoj.

Lattice gas

La modelo de Ising povas estis reinterpretita kiel statistika modelo por la moviĝo de atomoj. Ekde la kineta energio ne dependas de la pozicio, sed nur de momanto, la statistiko de la pozicioj nur dependas de la potenciala energio, la termodinamiko de la gaso nur dependas de la potenciala energio por ĉiu agordo de atomoj.

Kruda modelo estas fari spacotempan kradon kaj imagi ke ĉiu pozicio aŭ enhavas atomon aŭ ne. La spaco de agordo estas tiu de sendependaj bitoj ${\displaystyle B_{i}}$, kie ĉiu bito estas 0 aŭ 1 laŭ ĉu la pozicio estas okupita aŭ ne. Alloga interago reduktas la energion de du najbaraj atomoj. Se la allogo estas sole tra proksimaj najbaroj, la energio estas reduktita de ${\displaystyle -4JB_{i}B_{j}}$ por ĉiu okupita najbara paro.

La denseco de la atomoj povas esti regulata per aldono de kemia potencialo, kiu estas multiplika probableco-kosto por aldoni unu plian atomon. Multiplika faktoro en probableco povas esti reinterpretita kiel adicia termo en la logaritmo - la energio. La ekstra energio de la agordo kun N atomoj estas ŝanĝita de ${\displaystyle \mu N}$. La probableco-kosto de unu plia atomo estas faktoro de ${\displaystyle \exp {(-\beta \mu )}}$.

Tial la energio sur la gaso-kardo estas:

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}\,}$

Reskribanta la termoj per la spinoj, ${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2}$.

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}\,}$

Por kradoj kie ĉiu situo havas egalan nombron de nejbaroj, ĉi tiu estas la Ising-a modelo kun magneta kampo ${\displaystyle h=(zJ-\mu )/2}$, kie ${\displaystyle z}$ estas la nombro de najbaroj.

Paremaj interrilataj bitoj

La agado de la neŭronoj en la cerbo povas esti modelita statistike. Ĉiu neŭrono iam ajn estas aŭ aktiva (+) aŭ neaktiva (-). La aktivaj neŭronoj estas tiuj kiuj sendas agopotencialon laŭ la aksono (laŭ donata frekvenco), kaj la neaktivoj estas tiuj kiuj ne. Ĉar la naŭrala agado je iu aparta momento estas modelita de sendepandaj bitoj, Hopfield sugestis ke dinamika modelo de Ising provizus unuan proksimumon al la neŭrala reto kiu kapablas lerni.^[1]

Sekvanta la ĝenerala metodo de Jaynes ^[2][3], lastatempa interpreto de Schneidman, Berry, Segev and Bialek ^[4], estas ke la Ising-a modelo utilas por ĉiu modelo de neŭrala funkcio, ĉar statistika modelo por neŭrala agado devu esti elektita uzante la principo de maksimuma entropio. Donata kolekto de neŭronoj, statistika modelo, kiu povas reprodukti la averaĝan pafo-frekvencon por ĉiu neŭrono, enkondukas Lagrange-an multiplikanton por ĉiu neŭrono:

${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$

Sed la agado de ĉiu neŭrono, en ĉi tiu modelo, estas statistike sendependa. Por ebligi paro-korelaciojn, kiam unu neŭrono emas pafi (aŭ ne pafi) kune kun alia, oni enkondukas paremajn Lagrange-ajn multiplikantojn:

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$

Ĉi tiu energifunkcio nur enkondukas probableco-diferencojn por spino havanta unu partikularan valoron kaj por paro de spinoj havantaj saman valoron. Korelacioj de pli alta ordo estas mallimigitaj de la multiplikantoj. Agado-skemo ŝablonata de ĉi tiu disdonado bezonas la plej grandajn nombrojn de bitoj por enmagazenado en komputilo, laŭ la plej efika kodo-skemo imagebla, kompare kun iu ajn alia disdonado kun la sama averaĝa agado kaj paremaj korelacioj. Ĉi tiu signifas ke la modeloj de Ising koncernas ĉiun sistemon kiu estas priskribita de bitoj kiuj estas kiel hazardaj laŭeble, kun limoj sur la paremaj korelacioj kaj la averaĝa nombro de "1"; kaj ĉi tio ofte okazas en ambaŭ fizika kaj sociologiaj fakoj.

Unu-dimensio – sendependaj spino-turnoj

La energio de unu-dimensia feromagneta Ising-a modelo estas:

${\displaystyle -\sum _{i}S_{i}S_{i+1}\,.}$

Kie ${\displaystyle i}$ iras de ${\displaystyle 0}$ al ${\displaystyle L}$, la longeco de la linio. La energio de la plej malalta stato estas ${\displaystyle -L}$, kiam ĉiuj spinoj estas la sama. Por iu ajn agordo, la ekstra energio egalas la nombron de signo-ŝanĝoj kiel oni observas la agordon de maldekstre dekstren.

Se oni nomas la nombro de signo-ŝanĝoj en egordo kiel ${\displaystyle k}$, la diferenco en energio de la plej malalta energistato estas ${\displaystyle 2k}$. Ekde la energio estas adiciebla en la nombro de turnoj, la probableco ${\displaystyle p}$ de havi spino-turnon ĉe ĉiu pozicio estas sendependa. La raporto de la probableco de trovi turnon kun la probableco de ne trovi ĝin estas la Boltzmann-a faktoro:

${\displaystyle {p \over 1-p}=e^{-2\beta }\,.}$

La problemo estas reduktita al sendependaj monerumadoj. Ĉi tiu esence kompletigas la matematikan priskribon.

De la priskribo pri sendependaj ĵetoj de monero, la statistiko de modelo por longaj linioj povas esti komprenata. La linio fendiĝis en domajnoj. Ĉiu domajno estas de averaĝa longeco ${\displaystyle \exp(2\beta )}$. La longeco de domajno estas disdonata eksponenciale. La domajnoj neniam igas senlima, tiel longa sistemo neniam magnetiĝas. Ĉiu paŝo reduktas la korelacion inter spino kaj sia najbaro de kvanto proporcia al ${\displaystyle p}$, do la korelacioj falas eksponenciale.

${\displaystyle \langle S_{i}S_{j}\rangle \,\propto \,e^{-p|i-j|}\,.}$

La partiga funkcio estas la volumeno de la agordoj, ĉiu agordo pezigita per sia Boltzmann-a pezo. Ekde ĉiu agordo estas priskribita de la signo-ŝanĝoj, la partiga funkcio faktoriĝas:

${\displaystyle Z=\sum _{\mathrm {configs} }e^{\sum _{k}S_{i}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}\,.}$

La logaritmo dividita per ${\displaystyle L}$ estas la liberenergia denseco:

${\displaystyle \beta f=\log(1+p)=\log \left(1+{e^{-2\beta } \over 1+e^{-2\beta }}\right)\,.}$

kiu estas analitika fore de ${\displaystyle \beta =\infty }$. Signo de fazo-transiro estas neanalitika liberenergio, do la unu-dimensia modelo ne havas fazo-transiron.

Nefiniaj dimensioj – Meza Kampo

La konduto de modelo de Ising sur komplete konektita grafeo povus esti tute komprenita per Meza Kampo Teorio. La ideo estas ke se ĉiu spino estas konektita kun granda nombro de spinoj, sole la averaĝa nombro de + spinoj kompare kun - spinoj gravas, ekde la variadoj ĉirkaŭ ĉi tiu mezo estas malgrandaj. La meza kampo H estas la mezuma frakcio de spinoj kiu estas + minus la mezuma frakcio kiu estas -. La energia kosto de ununura spinturno en la meza kampo H estas ${\displaystyle \pm }$ 2 JNH. Estas oportuna redifini J por sorbi la faktoro N, tiel ke la limo ${\displaystyle \scriptstyle N\rightarrow \infty }$ estas glata. Per la nova J, la energi-kosto de spinturno estas ${\displaystyle \pm }$ 2 JH.

Ĉi tiu energi-kosto alportas la raporton de probableco p ke la spino estas + kontraŭ 1 − p ke la spino estas −. Ĉi tiu raporto estas la Boltzmann-a factoro.

${\displaystyle {p \over 1-p}=e^{-2\beta JH}\,}$

tiel ke

${\displaystyle p={1 \over 1+e^{-2\beta JH}}\,}$

La mezvaloro de la spino estas donata averaĝante 1 kaj −1 kun la pezoj p kaj 1 − p, tiel ke la mezvaloro estas 2p − 1. Sed tiu ĉi averaĝo estas la sama por la tutaj spinoj, do ĝi egalas H.

${\displaystyle H=2p-1={1-e^{-2\beta JH} \over 1+e^{-2\beta JH}}=\tanh(\beta JH)\,}$

La solvoj por ĉi tiu ekvacio estas eblaj mezkampoj. Por ${\displaystyle \beta J<1}$ ekzistas sole la ununuran solvon ĉe H = 0. Por plej grandaj valoroj de β ekzistas tri solvojn, kaj la solvo ĉe H = 0 estas mastabila.

La malstabileco signifas ke pliigante iomete la mezkampon super nulo produktas statistikan fakcio de spinoj kiu estas pli granda ol la valoro de la mezkampo. Do mezkampo, kiu varias super nulo, produktos pli grandan mezkampon, kaj ĝi fine haltos ĉe stabila solvo. Ĉi tiu signifas ke por temperaturoj sub la krita valoro ${\displaystyle \beta J=1}$ la mezkampa Ising-a modelo travivas fazo-transiron en la limo de granda N.

Super la krita temperaturo, variadoj en H estas damnaj ĉar la mezkampo restarigas la variado laŭ nula kampo. Sub la krita temperaturo, la mezkampo estas regata al nova ekvilibro-valoro, kiu estas aŭ la pozitiva H aŭ la negativa H solvo de la ekvacio.

Por ${\displaystyle \beta J=1+\varepsilon }$, iomete sub la krita temperaturo, la valoro de H povas esti kalkulita per la Taylor-a ekspansio de la hiperbola tangento:

${\displaystyle H=\tanh(\beta JH)=(1+\epsilon )H-{(1+\epsilon )^{3}H^{3} \over 3}\,}$

dividante de H por forĵeti la malstabilan solvon ĉe H = 0, la stabilaj solvoj estas:

${\displaystyle H={\sqrt {3\varepsilon }}\,}$

La spontanea magnetiĝo J kreskas apud la krita punkto kiel la kvadrata radiko de la ŝanĝo en temperaturo. Ĉi tiu estas vera ĉiam, kiam H povas esti kalkulita de la solvo de analitika ekvacio kiu estas simetria inter pozitivaj kaj negativaj valoroj; ĉi tiu gvidis Landau al suspekto ke ĉiuj Ising-aj fazo-transiroj ĉiudimensie devas sekvi ĉi tiun leĝon.

La mezkampa eksponento estas universala ĉar ŝanĝoj en la konduto de solvoj de analitikaj ekvacioj estas ĉiam priskribita per katastrofoj en la Taylor-a serioj, kiuj estas polinoma ekvacio. De simetrio, la ekvacio por H devas nur havi neparajn potencojn de H sur la dekstraflanko de la ekvacio. Ŝanĝante β nur glate ŝanĝas la koeficientojn. La transiro okazas kiam la koeficiento de H dekstraflake egalas 1. Apud la transiro:

${\displaystyle H={\partial (\beta F) \over \partial h}=(1+A\epsilon )H+BH^{3}+\cdots \,}$

Ĉio A kaj B estas, kondiĉe ke neniu el ili estas nulita, la spontanea magnetiĝo kreskos kiel la kvadrata radiko de ε. Ĉi tiu argumento nur povas malsukcesi se la liberenergio ${\displaystyle \beta F}$ estas aŭ ne-analitika aŭ ne-ĝenera ĉe la ĝusta β kie la transiro okazas.

Sed la spontanea magnetiĝo en magnetaj sistemoj kaj la denseco en gasoj apud la krita punkto estas mezurita tre precize. La denseco kaj la magnetiĝo en tri dimensioj havas la saman potencoleĝan dependecon sur la temperaturo apud la krita punkto, sed la konduto eksperimente estas:

${\displaystyle H\propto \epsilon ^{0.308}\,}$

La eksponento ankaŭ estas universala, ĝi estas la sama en la Ising-a modelo kiel en la eksperimentaj magneto kaj gaso, sed ĝi ne egalas la mezkampan valoron. Ĉi tiu estis tre mirinda.

Ĉi tiu ankaŭ estas vera en du-dimensioj, kie:

${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.125}\,}$

Sed tie ne estis mirinda, ĉar ĝi estas antaŭvidita de Onsager.

Du-dimensioj – Onsager-a solvo

La partiga funkcio de la Ising-a modelo du-dimensie sur kvadrata krado povas esti mapita du-dimensian liberan fermionon. Ĉi tiu permesas la specifan varmon esti kalkulita precize. Onsager akiris la sekvonta analitikan eprimon por la magnetiĝo kiel funkcio de temperaturo:

${\displaystyle M=\left(1-\left[\sinh \left(\log(1+{\sqrt {2}}){\frac {T_{c}}{T}}\right)\right]^{-4}\right)^{\frac {1}{8}}\,}$

kie:

${\displaystyle T_{c}={\frac {2}{\log(1+{\sqrt {2}})}}}$

Trans la kvara dimensio - libera kampo

En ajn dimensio, la modelo de Ising povas esti produktive priskribita per loke varianta averaĝa kampo. La kampo estas difinita kiel la averaĝa spino-valoro sur granda regiono, sed ne tiel granda por inkluzivi la tutan sistemon. La kampo ankoraŭ havas malrapidajn variojn de punkto al punkto, kiel la averaĝiganta volumeno moviĝas. Ĉi tiuj variadoj en la kampo estas priskribitaj de kontinua kampoteorio en la senfinasistema limo.