Teoremo de Lagrange

Meznombra valora teoremo, konata ankaŭ kiel teoremo de Lagrange estas teoremo uzata en analitiko.

Estu ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ kontinua en ${\displaystyle [a,b]\quad }$ kaj derivebla en ${\displaystyle (a,b)\quad }$; tiam ${\displaystyle \exists \ c\ \in (a,b)\ :f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

Pruvo

Por la pruvo oni necesas funkcion, al kiu la teoremo de Rolle aplikeblas. Oni konstruu funkcion ${\displaystyle h(x)\quad }$ tiel, ke en la intervalo ${\displaystyle [a,b]\quad }$ estas kontinua, derivebla kaj ${\displaystyle h(a)=h(b)\quad }$: ${\displaystyle h(x)=f(x)+kx\quad }$, kie ${\displaystyle k\quad }$ estas determinenda konstanta por ke la teoremo de Rolle estas valida: ${\displaystyle h(a)=f(a)+ka\quad }$ kaj ${\displaystyle h(b)=f(b)+kb\quad }$. Ĉar ${\displaystyle h(a)=h(b)}$, tial ${\displaystyle f(a)+ka=f(b)+kb\quad }$. Do ${\displaystyle k=-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$. La funkcio estas ${\displaystyle h(x)=f(x)+-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}kx\quad }$. Oni apliku la teoremon de Rolle kaj derivu la funkcion: ${\displaystyle h'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$. Se la funkcio estas kontinua, derivebla kaj ${\displaystyle f(a)=f(b)\quad }$, tiam ${\displaystyle \exists \ c\ \in (a,b)\ :f'(c)=0}$. Do ekzistus ${\displaystyle c\in (a,b)}$ tiel, ke ${\displaystyle h'(c)=0\quad }$, tiel ke ${\displaystyle f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0}$. La meznombra valora teoremo estas pruvata.

Analitiko Infinitezima kalkulo Reela nombro • Vico • Limeso • Kontinua funkcio • Serio Analitiko Diferenciala kalkulo Derivaĵo • Derivado • Teoremo de Rolle • Teoremo de Lagrange • Teoremo de Cauchy • Regulo de de l'Hôpital • Serio de Taylor • Diferenciebla funkcio • Gradiento • Jakobia • Hesea Integralo Malderivaĵo • Integrado • Integralo de Riemann • Nepropra integralo • Integralo de Lebesgue • Fundamenta teoremo de kalkulo • Obla, kurba kaj surfaca integralo