En topologio, la malfermaĵo^[1] aŭ interno^[2] estas la plej granda malfermita aro ene de iu subaro de topologia spaco.

Difino

Supozu ke ${\displaystyle S\subseteq X}$ estas subaro en topologia spaco ${\displaystyle X}$. Konsideru la kolekton ${\displaystyle {\mathcal {T}}(X)}$ de ĉiuj malfermitaj aroj de ${\displaystyle X}$. El tiuj, konsideru la subkolekton

${\displaystyle \{U\in {\mathcal {T}}(X)\colon U\subseteq S\}}$

de tiuj malfermitaj aroj, kiuj estas subaroj de ${\displaystyle S}$. Ĉi tiu estas parte ordita aro laŭ la rilato de subareco. Ĝi havas unikan maksimumon, ĉar la kunaĵo de arbitra familio de malfermitaj aroj estas malfermita; ĉi tiu maksimumo estas la malfermaĵo ${\displaystyle S^{\circ }}$ de ${\displaystyle S}$. Pli konkrete, ĝi estas la kunaĵo de ĉiuj tiuj malfermitaj aroj, kiuj estas subaroj de ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S^{\circ }=\bigcup \{U\in {\mathcal {T}}(X)\colon U\subseteq S\}}$.

Interna punkto de ${\displaystyle S}$ estas elemento de la malfermaĵo de ${\displaystyle S}$.

Ekzemploj

En topologia spaco ${\displaystyle X}$, la malfermaĵo de malfermita aro estas la originala aro mem:

${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}(X)\implies U^{\circ }=U}$.

Specife, la malfermaĵo de la malplena aro estas la malplena aro, kaj la malfermaĵo de la tuta spaco ${\displaystyle X}$ estas la tuta spaco ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing }$

${\displaystyle X^{\circ }=X}$

Referencoj

Vidu ankaŭ

• Fermaĵo, la mala koncepto

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Interior en MathWorld.