Ligo al la leĝoj de Newton

Newton proponis ke per gravito "ĉiu objekto en la universo altiras ĉiun alian objekton laŭ linio inter la centroj de la objektoj proporcie al maso de la unua objekto, proporcie al maso de la dua objekto kaj inverse proporcie al la kvadrato de la distanco inter la objektoj."

Tiu ĉi rubriko pruvas, ke la unua leĝo de Kepler estas konforma al la leĝoj de Newton de Movado. Ni komencas per la leĝo de Newton F=ma:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\widehat {\mathbf {r} }}}$

Tie ĉi ni esprimas F kiel la produton de ties magnitudo kaj direkto. Rememoru, ke en polusaj koordinatoj:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\widehat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\widehat {\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\widehat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\widehat {\theta }}}$

En komponanta formo, ni havas:

${\displaystyle m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=f(r)}$

${\displaystyle m(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }})=0}$

Nun konsideru la angulan movokvanton:

${\displaystyle \mathbf {L} =\left|\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right|=\left|mr^{2}{\dot {\theta }}\right|}$

Do:

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=\ell }$

kie ${\displaystyle \ell =L/m}$ estas la angula movokvanto per maso. Nun ni substituu. Lasu:

${\displaystyle r={\frac {1}{u}}}$

${\displaystyle {\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }}}$

${\displaystyle {\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}}$

La ekvacio de movado en la ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ direkto iĝas:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{m\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right)}$

La leĝo de Newton pri gravito diras, ke la centra forto estas inverse proporcia al la kvadrato de la distanoco. Tiel ni havas:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {k}{m\ell ^{2}}}}$

kie k estas la proporcia konstanto.

Tiu ĉi diferenciala ekvacio havas la ĝeneralan solvon:

${\displaystyle u=A\cos(\theta -\theta _{0})+{\frac {k}{m\ell ^{2}}}.}$

Post anstataŭigo de u per r kaj farado de θ₀=0:

${\displaystyle r={\frac {1}{A\cos \theta +{\frac {k}{m\ell ^{2}}}}}}$.

Tio ĉi ja estas la ekvacio de konusa tranĉaĵo kun la origino ĉe unu fokuso. Jen la pruvo.

Pruvo de la dua leĝo de Kepler

Premisante la leĝojn de Newton pri movado, ni povas montri, ke la dua leĝo de Kepler estas konsekvenca. Laŭ difino, la angula movokvanto ${\displaystyle \mathbf {L} }$ de punkta maso kun maso ${\displaystyle m}$ kaj rapido ${\displaystyle \mathbf {v} }$ estas:

${\displaystyle \mathbf {L} \equiv m\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$.

kie ${\displaystyle \mathbf {r} }$ estas la pozicio de la partiklo.

Ĉar ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$, ni havas

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$

Post farado de la tempa derivaĵo de ambaŭ flankoj de la ekvacio:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0}$

ĉar la vektora produto de paralelaj vektoroj estas 0. Ni povas diri ke ${\displaystyle |\mathbf {L} |}$ estas konstanta.

La areo balaita de linio liganta la planedon al la suno estas duono de la areo de la paralelogramo formita de ${\displaystyle \mathbf {r} }$ and ${\displaystyle d\mathbf {r} }$.

${\displaystyle dA={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}|\mathbf {r} \times d\mathbf {r} |={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left|\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}dt\right|={\frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt}$

Pro tio, ke ${\displaystyle |\mathbf {L} |}$ estas konstanta, la balaita areo estas ankaŭ konstanta. Jen la pruvo.