Problemo de Dirichlet

Ekvacio de Laplace de u=z, pri ringo (r=2 kaj R=4) kun limkondiĉoj de Dirichlet: u(r=2)=0 kaj u(r=4)=4.sin(5.θ)

La problemo de Dirichlet pri la laplaca ekvacio konsistas trovi solvon ${\displaystyle u}$ en iu domajno ${\displaystyle D}$ tiel, ke ${\displaystyle u}$ konformu al determinita(j) funkcio(j) ${\displaystyle g}$ laŭ difinita(j) limo(j) ${\displaystyle \partial D}$:

${\displaystyle {\begin{cases}\triangle u=0,\quad &x\in D\\\ \ \ u=g,&x\in \partial D\end{cases}}}$

La laplaca operatoro aperas en la ekvacio de varmo, ia fizika interpreto de tiu problemo estas la sekvanta: fiksi la temperaturon laŭ la rando de la domajno en akordo kun iu specifo determinita de limkondiĉo. Varmo unue disfluas kaj varias ĝis daŭra stato, pri kiu la temperaturo en ĉiu punkto de la domajno ne plu ŝanĝas. La fina disvastiĝo de la temperaturo ene de la domajno estas la solvo de problemo de Dirichlet.

Problemo de Neumann

Pri la problemo de Neumann la limkondiĉo por la solvo de la laplaca ekvacio ne specifas, sur la rando(j) ${\displaystyle \partial D}$ de la domajno, la funkcion ${\displaystyle u}$, sed ties ortan derivaĵon.

${\displaystyle {\begin{cases}\triangle u=0,\quad &x\in D\\\ {\frac {\partial u}{\partial \eta }}=h,&x\in \partial D\end{cases}}}$

Pri varmodifuzo, komune okazas, ke varmo nek eniras nek eliras tra la konturo de la domajno, t.e. ke la domajno estas perfekte termike izolita, kaj do ke la orta derivaĵo de la varmofluo nulas laŭ ĉi tiu konturo (h=0).

Analitikaj funkcioj

La reelaj kaj imaginaraj de kompleksa analitika funkcio kongruas kun la laplaca ekvacio. Tio estas, se ${\displaystyle z=x+i.y}$, kaj se

${\displaystyle \Psi (z)=u(x,y)+i.v(x,y),\,}$

do la necesaj kondiĉoj, por ke ${\displaystyle \Psi (z)}$ estu analitika, estas, ke ĝi kongruu kun la ekvacioj de Cauchy-Riemann:

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y},\,}$

kie u_x estas la unua parta derivaĵo de u rilate al x.

Kaj pro la eco de simetrio de duaj derivaĵoj pri funkcioj kun kontinuaj partaj derivaĵoj, sekvas ke:

${\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.\,}$

Tio pruvas, ke u tial kongruas kun la laplaca ekvacio. Sama kalkulo montru, ke v kongruas ankaŭ kun la laplaca ekvacio.

Inverse, konsiderante harmonian funkcion, ĝi estas la reela parto de analitika funkcio ${\displaystyle \Psi (z)}$ (minimume lokale), eblas konsideri ĝin tiel:

${\displaystyle \Psi (z)=\Phi (x,y)+i\psi (x,y),\,}$

kaj oni rajtas plenumi la ekvaciojn de Cauchy-Riemannn:

${\displaystyle \psi _{x}=-\Phi _{y},\quad \psi _{y}=\Phi _{x}.\,}$

Tiaj egalaĵoj ne determinas ${\displaystyle \psi }$-n, sed nur ties pliigon per la nura reela parto de la analitika funkcio ${\displaystyle \Psi (z)}$:

${\displaystyle d\psi =-\Phi _{y}\,dx+\Phi _{x}\,dy.\,}$

La ekvacio de Laplace por ${\displaystyle \Phi }$ implicas, ke la kondiĉo de integralebleco validas por ${\displaystyle \psi }$:

${\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx},\,}$

kaj tiel eblas difini ${\displaystyle \psi }$-n kiel kurban integralon. La kondiĉo de integralebleco kaj la teoremo de Stokes implicas, ke la valoro de la kurba integralo, laŭ la vojo kiu kunigas la du punktojn, estas sendependa de la vojo. La solvo de la laplaca ekvacio estas duopo de tiel nomitaj konjugitaj harmoniaj funkcioj. Tiu konstruo validas nur lokale, aŭ kondiĉe ke la vojo ne ĉirkaŭiras neordinaraĵon. Ekzemple, se ${\displaystyle \rho \,}$ kaj ${\displaystyle \varphi \,}$ estas polusaj koordinatoj kaj

${\displaystyle \Phi =\log \rho ,\,}$

la konforma analitika funkcio estas:

${\displaystyle \Psi (z)=\log z=\log \rho +i\varphi .\,}$

Tamen, la angulo ${\displaystyle \varphi \,}$ havas unu nuran valoron kondiĉe, ke la koncernata regiono ne inkludas la centran poluson.

La proksima rilato inter la laplaca ekvacio kaj la analitikaj funkcioj imlicas, ke ĉiu solvo de laplaca ekvacio havas derivaĵojn de ĉiuj ordoj, kaj estas elvolvebla en potencoseriojn, minimume ene de cirklo, kiu ne enhavas neordinaraĵon. Tio ege kontraŭas la solvojn de la ondekvacion, kiu ĝenerale entenas malpli da reguleco.

Estas intima rilato inter potencoserio kaj la serioj de Fourier. Elvolvado de funkcio ${\displaystyle \Psi (z),\,}$ laŭ potencoserio inter cirklo de radiuso R tradukiĝas per:

${\displaystyle \Psi (z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},\,}$

kun taŭgaj difinitaj koeficientoj, kies reelaj kaj imaginaraj partoj estas donitaj per

${\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}.\,}$

Konsekvence

${\displaystyle \Psi (z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],\,}$

kiu estas serio de Fourier rilatante la funkcion ${\displaystyle \Psi }$.

Fluo de fluido

Supozu, ke la kvantoj u kaj v estu la horizontala kaj la vertikala komponantoj de rapido en du-dimensia sistemo pri daŭra, nekunpremebla kaj nerotacia fluidofluo. La kondiĉo, laŭ kiu la fluo estu nekomprenebla estas ke:

${\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=u_{x}+v_{y}=0,\,}$

kaj la kondiĉo, ke la fluo ne rotacias estas ke:

${\displaystyle \nabla \times (u,v)=v_{x}-u_{y}=0.\,}$

Se ni difinas la diferencialo de rapidofunkcio ψ per

${\displaystyle d\psi =v\,dx-u\,dy,\,}$

tiam la kondiĉo de nekunpremebleco estas kondiĉo de integralebleco por tia diferencialo: la rezulta funkcio nomiĝas fluofunkcio, ĉar ĝi estas konstanta laŭ la fluaj linioj. La unuaj derivaĵoj de ψ estas:

${\displaystyle \psi _{x}=v,\quad \psi _{y}=-u,\,}$

kaj la kondiĉo de nerotaciebleco implicas, ke ψ kongruu kun la laplaca ekvacio. La harmonia funkcio ${\displaystyle \Phi \,}$ , kiu estas konjugita al ψ nomiĝas rapidopotencialo. La ekvacioj de Cauchy-Riemann implicas ke:

${\displaystyle \Phi _{x}=-u,\quad \Phi _{y}=-v.\,}$

Tiele, ĉiu analitika funkcio respondas al daŭra nekunpremebla kaj nerotacia fluidofluo en la ebeno. La reela termo de tia kompleksa funkcio estas la rapidopotencialo, kaj ĝia imaginara termo la fluofunkcio.

Elektrostatiko

Laŭ la ekvacioj de Maxwell, elektra indukdenso (u,v) en du-dimensia spaco, kiu estas sendependa de tempo konformas al

${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \times (u,v)=v_{x}-u_{y}=0,\,\\\nabla \cdot (u,v)\ \ ={\rho _{l}},\,\end{cases}}}$

kie ${\displaystyle \rho _{l}}$ estas la elektra ŝarga denseco. La unua ekvacio estas la kondiĉo de integralebleco de analitiko funkcio, kies la diferencialo estas:

${\displaystyle d\Phi =-u\,dx-v\,dy,\,}$

do eblas konstrui la elektran potencialon ${\displaystyle \Phi }$ tiele:

${\displaystyle \Phi _{x}=-u,\quad \Phi _{y}=-v.\,}$

La dua ĉi supra ekvacio de Maxwell implicas ke:

${\displaystyle \Phi _{xx}+\Phi _{yy}=-\rho _{l},\,}$

kio estas la ekvacio de Poisson.

Gravas noti, ke la ekvacio de Laplace povas esti uzata pri tri-dimensiaj problemoj en elektrostatiko (la elektra kampo E derivas de elektra potencialo V) kaj en fluidofluo, sammaniere kiel en du-dimensiaj problemoj.