Principo de senmova ago

La spaco ${\displaystyle \Gamma (x_{0},x_{1})}$ estas la aro de kontinue deriveblaj kurboj ${\displaystyle \gamma \colon [t_{0},t_{1}]\to M}$ tia ke ${\displaystyle \gamma (t_{0})=x_{0}}$ kaj ${\displaystyle \gamma (t_{1})=x_{1}}$. Donu al ĝi la topologion generita de aroj

${\displaystyle \gamma '\in U_{V,\phi ,\epsilon ,\gamma }}$ s.n.s. ${\displaystyle \phi \colon V\subset M\to \mathbb {R} ^{n}}$ estas membro de la atlaso de ${\displaystyle M}$, kaj ${\displaystyle \gamma '}$ koincidas kun ${\displaystyle \gamma }$ ekster ${\displaystyle V}$, kaj ${\displaystyle \phi \circ \gamma '=\phi \circ \gamma +h}$ kie ${\displaystyle h(t)<\epsilon }$ kaj ${\displaystyle {\dot {h}}(t)<\epsilon }$ por ĉiu ${\displaystyle t}$.

Unu-parametra familio de kurboj estas kontinue derivebla funkcio ${\displaystyle [0,1]\to \Gamma (x_{0},x_{1})}$. Funkcionalo ${\displaystyle F\colon \Gamma (x_{0},x_{1})\to \mathbb {R} }$ sur ${\displaystyle \Gamma (x_{0},x_{1})}$ estas senmova ĉe ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (x_{0},x_{1})}$ s.n.s. por ĉiu unu-parametra familio de kurboj ${\displaystyle \gamma _{s}}$ (${\displaystyle 0\leq s\leq 1}$) tia ke ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$, do ${\displaystyle F[\gamma _{\epsilon }]-F[\gamma ]=O(\epsilon ^{2})}$.

La ago estas la funkcionalo ${\displaystyle S\colon \Gamma (x_{0},x_{1})\to \mathbb {R} }$ difinita kiel

${\displaystyle S[q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,q(t),{\dot {q}}(t))\;\operatorname {d} \!t}$.

La lagranĝiano determinas la evoluon de la sistemo laŭ la principo de senmova ago, kiu asertas ke:

La ago estas senmova ĉe la trajektorio de la sistemo.

Kelkaj aŭtoroj anstataŭe uzas la nomon principo de minimuma ago; tiu estas iom misnomita, ĉar senmoveco estas pli ĝenerala ol minimumeco. (Ekzemple, la trajektorio povas anstataŭe maksimumigi la agon aŭ simple esti sela punkto.)

Ekvacio de Euler–Lagrange

Oni povas pruvi ke la senmoveco de la ago estas ekvivalenta al la jena kondiĉo, la ekvacio de Euler–Lagrange:

Konsideru la partajn derivaĵojn ${\displaystyle \partial L(t,x,v)/\partial x_{i}}$ kaj ${\displaystyle \partial L(t,x,v)/\partial v_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,\dim M}$, kie ${\displaystyle x\in M}$ kaj ${\displaystyle v\in T_{x}M}$. Do la trajektorio ${\displaystyle q(t)}$ (kontinue derivebla, ${\displaystyle q(t_{0})=x_{0}}$, ${\displaystyle q(t_{1})=x_{1}}$) verigas:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}L(t,q(t),{\dot {q}}(t))={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}L(t,q(t),{\dot {q}}(t))}$ por ĉiu ${\displaystyle 1\leq i\leq \dim M}$.

Tial la ekvacio de Euler–Lagrange estas ekvacio de movado de la sistemo. La ekvacio de Euler–Lagrange estas dua-orda diferenciala ekvacio. Do la komenca valoro de la problemo konsistas el la nula- kaj unua-ordaj derivaĵoj de la trajektorio, ${\displaystyle (q(t_{0}),{\dot {q}}(t_{0}))\in TM}$. Tial, ĝenerale, stato de la sistemo estas punkto ${\displaystyle (x,v)\in TM}$, konsistanta el koordinato kaj rapido.

La (ĝeneraligita) movokvanto ${\displaystyle p\colon M\to T^{*}M}$ (kovektora kampo) estas difinita kiel

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}}$.

La (ĝeneraligita) forto ${\displaystyle F\colon M\to T^{*}M}$ (kovektora kampo) estas difinita kiel

${\displaystyle F_{i}={\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}}$.

Do la ekvacio de Euler–Lagrange simpliĝas al

${\displaystyle {\dot {p}}=F}$,

kiu similas la duan leĝon de Newton.

Ekzemplo: Partiklo sur sternaĵo

Kiel ekzemplo, konsideru partiklon limigitan al la interno de iu (pseŭdo-) rimana sternaĵo ${\displaystyle (M,g)}$ (la spactempo). La spaco de agordoj estas ${\displaystyle M}$ per difino. (Se ${\displaystyle n}$ distingeblaj partikloj ekzistas anstataŭe, la spaco de agordoj estus ${\displaystyle M^{\times n}=M\times M\times \dotsb \cdot \times M}$; se la partikloj estas ne distingeblaj, do ni havas ${\displaystyle M^{n}/\sim }$, kie ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\sim (x_{i(1)},x_{i(2)},\dots )}$ por iu ajn permutaĵo ${\displaystyle i}$.)

Supozu ke la partiklo estas libera, k.e., ne sentas iajn eksterajn fortojn. Do unu ebla lagranĝiano estas simple la kineta energio:

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}g(x)_{ij}m{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}$

kie ${\displaystyle m}$ estas la maso de la partiklo. La movokvantoj estas

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{i}}}=mg_{ij}{\dot {x}}^{j}}$;

iliaj derivaĵoj laŭ tempo estas

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}/m=g_{ij,k}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+{\ddot {x}}_{i}=(\Gamma _{ijk}+g_{jk,i}/2){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+{\ddot {x}}_{i}}$

kie ${\displaystyle \Gamma _{ijk}=(g_{ij,k}+g_{ik,j}-g_{jk,i})/2}$ estas la simbolo de Christoffel. La ĝeneraligitaj fortoj estas

${\displaystyle F_{i}/m=m^{-1}{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}=g_{jk,i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}/2}$.

Do la ekvacioj de Euler–Lagrange ${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=F_{i}}$ fariĝas

${\displaystyle {\ddot {x}}_{i}+\Gamma _{ijk}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}=0}$,

aŭ (uzante la alian simbolon de Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=g^{im}\Gamma _{mjk}}$)

${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}+\Gamma _{jk}^{i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}=0}$.

Tiu ĉi estas la fama ekvacio de geodeziiko (angle geodesic, france géodesique, germane Geodäte): la trajektorio estas geodeziiko, la plej mallonga (aŭ, pli ĝenerale, ekstrema aŭ senmova) kurbo inter du punktoj. Tial alternativa ago por la libera klasika partiklo estas la longo de la trajektorio de la partiklo, kaj la respondanta lagranĝiano estas la rapido de kresko de la trajektorio:

${\displaystyle L'=m{\sqrt {g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}}$.

La respondantaj movokvantoj estas

${\displaystyle p_{i}=m{\dot {x}}_{i}/{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}}$;

iliaj derivaĵoj estas

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}/m={\frac {(\Gamma _{ijk}+g_{jk,i}/2){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+{\ddot {x}}_{i}}{\lVert {\dot {x}}\rVert }}-{\dot {x}}_{i}{\frac {\Gamma _{jkl}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}{\dot {x}}^{l}+{\ddot {x}}\cdot {\dot {x}}}{\lVert {\dot {x}}\rVert ^{3}}}}$;

kaj la ĝeneraligitaj fortoj estas

${\displaystyle F_{i}/m={\frac {g_{jk,i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}}{2\lVert {\dot {x}}\rVert }}}$.

Do la ekvacioj de Euler–Lagrange fariĝas

${\displaystyle 0=\left(\delta _{i}^{j}-{\frac {{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}^{j}}{{\dot {x}}^{2}}}\right)(\Gamma _{jkl}{\dot {x}}^{k}{\dot {x}}^{l}+{\ddot {x}}_{j}).}$

Ĝenerale ${\displaystyle \delta _{i}^{j}\neq {\dot {x}}_{i}{\dot {x}}^{j}/{\dot {x}}^{2}}$. Tial ni ree havas la ekvacion de geodeziiko. Ni vidu ke pluraj malsamaj lagranĝianoj povas priskribi la saman dinamikon.