Rilato al Γ funkcio

γ estas minus la derivaĵo de la gama funkcio Γ je argumenta valoro 1. Tial:

${\displaystyle \ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1)}$

kie Ψ estas digama funkcio.

γ estas ankaŭ la limigo:

${\displaystyle \gamma =\lim _{x\to \infty }[x-\Gamma ({\frac {1}{x}})]}$

Limigo rilatanta al la beta funkcio (esprimita per Γ funkcio) estas

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}]}$

Rilato al la zeta funkcio

γ povas ankaŭ esti esprimita kiel malfinia sumo (serio) kies termoj enhavas la rimanan zetan funkcion je pozitivaj entjeroj:

${\displaystyle \gamma =\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}}$

${\displaystyle =\ln({\frac {4}{\pi }})+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}}$

Alia serio rilatanta al la zeta funkcio:

${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}})]}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}})]}$

La eraro termo en la lasta ekvacio estas rapide malkreskanta funkcio de n. Tiel la formulo konvenas por kalkulado de la konstanto kun alta precizeco.

Alia estas la malsimetria limigo (Sondow, 1998):

${\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}})=\lim _{s\to 1}(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}})}$

kaj

${\displaystyle \gamma =\lim _{x\to \infty }[x-\Gamma ({\frac {1}{x}})]}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}(\lceil {\frac {n}{k}}\rceil -{\frac {n}{k}})}$

Proksime rilatanta al ĉi tiu estas la racionala zeta seria esprimo:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}}$

kie ${\displaystyle \zeta (s,k)}$ estas la zeta funkcio de Hurwitz;

H_n estas la n-a harmona nombro.

Elvolvado de iuj termoj en la zeta funkcio de Hurwitz rezultiĝas:

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon }$, kie ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{252n^{6}}}}$

Integraloj

γ rezultiĝas kiel valoro de difinitaj integraloj:

${\displaystyle \gamma =-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx}$

${\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\ln \ln({\frac {1}{x}})}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{({\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}})e^{-x}}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}({\frac {1}{1+x}}-e^{-x})}\,dx}$

Difinitaj integraloj en kiuj γ estas inkluzivata estas:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

γ rezultiĝas kiel valoro de kelkaj de duopa integralo (Sondow 2003, 2005) kun ekvivalenta serio:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}).}$

Interesa komparo (J. Sondow 2005) estas la duopa integralo kaj alterna serio

${\displaystyle \ln({\frac {4}{\pi }})=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}})}$

Tiel ${\displaystyle \ln({\frac {4}{\pi }})}$ povas esti konsiderata kiel alterna eŭlera konstanto.

La du konstantoj estas ankaŭ rilatantaj per du serioj (vidi _Sondow_ 2005 #2)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\ln({\frac {4}{\pi }})}$

kie N₀(n) kaj N₁(n) estas la kvanto de ciferoj "0" kaj "1", respektive, en la duuma prezento de n.

Serioj

γ rezultiĝas kiel valoro de malfiniaj serioj:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }[{\frac {1}{k}}-\ln(1+{\frac {1}{k}})]}$

La serio por γ estas ekvivalenta al serio de Nielsen (trovita en 1897):

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k+1}}}$.

En 1910, Vacca trovitis similan serion:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+2({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}})+3({\frac {1}{8}}-\dots -{\frac {1}{15}})+\dots }$

kie log₂ estas la logaritmo kun bazo 2 kaj ${\displaystyle \lfloor \,\rfloor }$ estas la planka funkcio.

En 1926, Vacca trovis serion:

${\displaystyle \gamma +\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}({\frac {1}{4}}+\dots +{\frac {1}{8}})+{\frac {1}{9}}({\frac {1}{9}}+\dots +{\frac {1}{15}})+\dots }$

aŭ

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k^{2}\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}({\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {2}{6^{2}}}+{\frac {3}{7^{2}}}+{\frac {4}{8^{2}}})+{\frac {1}{3^{2}}}({\frac {1}{10^{2}}}+\dots +{\frac {6}{15^{2}}})+\dots }$

(Krämer, 2005)

Serio de Vacca povas esti ricevita de integralo de Catalan de 1875 (Sondow kaj Zudilin):

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx}$

Ĉenfrakcia elvolvaĵo

La ĉenfrakcio elvolvaĵo de γ estas:

γ = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, ...]

Tiel

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ \ddots \ {}}}}}}}}}}}}$

La ĉenfrakcia elvolvaĵo de γ enhavas almenaŭ 470000 erojn.

Asimptotaj elvolvaĵoj

Estas jenaj asimptotaj formuloj por γ:

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\ln(n)-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+...}$

(Eŭlero)

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\ln({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{3}}}+...})}$

(Negoi)

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\ln(n)+\ln({n+1})}{2}}-{\frac {1}{6n({n+1})}}+{\frac {1}{30n^{2}({n+1})^{2}}}-...}$

(Cesaro)

kie H_n estas la n-a harmona nombro.

La tria formulo estas ankaŭ nomita kiel la elvolvaĵo de Ramanujan.

e en potenco γ

Bazo de natura logaritmo e en potenco γ, la nombro e^γ≈1,78107241799019798523650410310717954916964521430343... estas grava en nombroteorio. Iam ĝi estas skribata kiel γ' .

e^γ egalas al jena limigo, kie p_n estas la n-a primo:

${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}}$

Aliaj malfiniaj produtoj rilatantaj al e^γ, kiuj rezultiĝas de la G-funkcio de Barnes:

${\displaystyle {\frac {e^{1+\gamma /2}}{\sqrt {2\,\pi }}}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+1/(2\,n)}\,(1+{\frac {1}{n}})^{n}}$

${\displaystyle {\frac {e^{3+2\gamma }}{2\,\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+2/n}\,(1+{\frac {2}{n}})^{n}}$

Ankaŭ:

${\displaystyle e^{\gamma }=({\frac {2}{1}})^{1/2}({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}})^{1/3}({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}})^{1/4}({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}})^{1/5}\cdots }$

kie la n-a faktoro estas la (n+1)-a radiko de

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}}$

Ĉi tiu malfinia produto, unue esplorita de Ser en 1926, estis reesplorita per Sondow (2003) uzante supergeometriajn funkciojn.