Konikoj

Specoj de konikoj

Tabelo de konikoj el Cyclopaedia, 1728

Pri la aliaj signifoj de koniko rigardu en Koniko (Apartigilo).

En matematiko, koniko estas unu-dimensia lokaro de punktoj produktata de la intersekco de ebeno kaj konuso. La konikoj estis nomitaj kaj studitaj ĉirkaŭ 200 a.K., kiam Apolonio de Pergo faris sisteman studon de iliaj trajtoj.

Ne degenera koniko estas unu el cirklo, elipso, parabolo, hiperbolo.

Koniko havas kontinue kreskantan aŭ malkreskantan kurbecon (glata linio); pli detale, ĝi havas neniun trafleksan punkton.

Degeneraj okazoj

Estas multaj degeneraj okazoj, en kiu la ebeno pasas tra la apekso de la konuso. La komunaĵo en ĉi tiuj okazoj povas esti:

• Rekto se la ebeno estas tanĝanta al surfaco de la konuso;
• Punkto se la angulo inter la ebeno kaj la akso de la konuso estas pli granda ol tanĝanta;
• Du intersekcantaj rektoj se la angulo inter la ebeno kaj la akso de la konuso estas malpli granda ol tanĝanta.

Se la konuso estas degenera cilindro (la vertico estas je malfinio), la cilindraj sekcoj estas ricevataj. Ĉi tio povas esti:

• Rekto se la ebeno estas tanĝanta al surfaco de la cilindro;
• Du paralelaj rektoj se la ebeno estas paralela al akso de la cilindro sed ne tanĝanta al ĝia surfaco;
• Elipso se la ebeno estas ne paralela al akso de la cilindro;

Discentreco

Elipso (e=1/2), parabolo (e=1), hiperbolo (e=2) kun samaj fiksitaj fokuso F kaj direktanto.

Ĉiu koniko povas esti difinita per fiksa punkto F (la fokuso), linio L (la direktanto) ne enhavanta punkton F kaj nenegativa reela nombro e (la discentreco). La respektiva koniko konsistas el ĉiuj punktoj kies distanco al F egalas al distanco al L multiplikita je e.

Por e = 0 estas cirklo

Por 0 < e < 1 estas elipso;

Por e = 1 estas parabolo

Por e > 1 estas hiperbolo.

Por elipso kaj hiperbolo, du fokuso-direktantaj kombinaĵoj povas esti prenita, ĉiu donante la saman plenan figuron.

La distanco de la centro al la direktanto estas a/e, kie a estas la granda duonakso de la elipso, aŭ la distanco de la centro al la suproj de la hiperbolo. La distanco de la centro al fokuso estas ae.

Ĉe cirklo kun la discentreco e=0, oni povas imagi ke la direktanto estas malfinie malproksima de la centro. Tamen, la frazo ke la cirklo konsistas el ĉiuj punktoj kies distanco estas e fojoj la distanco al L estas neutila, ĉar oni prenas nulon da fojoj malfinion.

La discentreco de koniko estas tial mezuro de tio kiel malsimila ĝi estas de cirklo.

Por donita a, ju pli proksima e estas al 1, des la pli malgranda estas la malgranda duonakso.

Karteziaj koordinatoj

En la karteziaj koordinatoj, la grafikaĵo de kvadrata ekvacio de du variabloj estas ĉiam koniko, kaj ĉiuj koniko povas esti prezentita tiel. La ekvacio estas de formo

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 kie minumume unu el A, B, C ne estas nulo.

Tiam:

• Se B² - 4AC < 0 rezultiĝas elipso aŭ malplena aro (ekzemple por x² + y² + 1 = 0).
  • Se ankaŭ A = C kaj B = 0 rezultiĝas cirklo.
• Se B² - 4AC = 0 rezultiĝas parabolo (matematiko).
• Se B² - 4AC > 0 rezultiĝas hiperbolo.
  • Se ankaŭ A + C = 0 rezultiĝas ortangula hiperbolo.

Per ŝanĝi de koordinatoj (movo aŭ turno) ĉi tiuj ekvacioj povas esti konvertitaj en la normajn formojn:

• Cirklo x²+y² = r²
• Elipso ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}$
• Parabolo y²=4ax
• Hiperbolo ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1}$
• Ortangula hiperbolo xy = c²

La figuroj povas esti skribita kiel parametraj ekvacioj:

• Cirklo (a cos θ, a sin θ)
• Elipso (a cos θ, b sin θ)
• Parabolo (a t², 2at)
• Hiperbolo (a sec θ, b tan θ) aŭ (±a cosh u, b sinh u)
• Ortangula hiperbolo (ct, c/t)

Parametroj

Diversaj parametroj povas esti asociita kun koniko (estas prenite ke a>b).

Nomo	Ekvacio	Discentreco e	Lineara discentreco c	Duono de flanka streko l	Parametro p
Cirklo	x2+y2 = r2	0	0	r	${\displaystyle \infty }$
Elipso	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
Parabolo	y2=4ax	1	a	2a	2a
Hiperbolo	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Parametroj de elipso, c² = a² - b²

La lineara discentreco c estas distanco inter la centro kaj la fokuso.

La flanka streko 2l estas la ĥordo paralela al la direktanto kaj pasanta tra la fokuso.

La fokusa parametro p estas la distanco de la fokuso al la direktanto, p = l/e.

Polusaj koordinatoj

En polusaj koordinatoj, koniko kun unu fokuso je la fonto kaj la alia fokuso sur la x-akso, estas donita per la ekvacio

${\displaystyle r={l \over {1+e\cos \theta }}}$

kie e estas la discentreco kaj l= e.p.

Vidu ankaŭ

• Fokuso (geometrio)
• Kvadriko - ĝeneraligo de koniko al ajna dimensio
• Matrica prezento de konikoj
• Kvadrata funkcio
• Discentreco
• Geometrio
• Cirklo
• Elipso
• Hiperbolo
• Linio
• Parabolo
• Discentreco
• Samfokusa

Eksteraj ligiloj

• https://web.archive.org/web/20070715064142/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=196&bodyId=60
• http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/ConicSections_dir/conicSections.html
• Eric W. Weisstein, Koniko en MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Cilindra sekco en MathWorld.
• http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/ConicFitMod.html
• http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbconics.htm
• http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/conics/index.asp Arkivigite je 2007-10-06 per la retarkivo Wayback Machine
• http://www.cut-the-knot.org/proofs/conics.shtml