En matematiko, la koŝia ĉefa valoro de certa nepropra integralo estas difinita kiel

• la finia nombro

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left[\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,dx\right]}$

kie b estas punkto je kiu la konduto de la funkcio f estas tia ke

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\pm \infty }$

por ĉiu A < b kaj

${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,dx=\mp \infty }$

por ĉiu c > b (unu signo estas "+" kaj la alia estas "−").

aŭ

• la finia nombro

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx}$

kie

${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,dx=\pm \infty }$

kaj

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=\mp \infty }$

(denove, unu signo estas "+" kaj la alia estas "−").

En iuj okazoj necesas pritrakti samtempe kun specialaĵoj ambaŭ je finia nombro b kaj je malfinio. Ĉi tiu estas kutime farata per limigo de la formo

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\int _{b-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\varepsilon }}}f(x)\,dx.}$

Skribado

La koŝia ĉefa valoro de funkcio f povas skribita per kelkaj notacioj, depende de la aŭtoroj. Ĉi tiuj sed ne nur variantoj estadas:

${\displaystyle PV\int f(x)dx}$, ${\displaystyle P}$, P.V., ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, ${\displaystyle P_{v}}$, ${\displaystyle (CPV)}$ kaj V.P..

Ekzemploj

Konsideru la diferencon de valoroj de du limigoj:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0}$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\log _{e}2}$

La antaŭa estas la koŝia ĉefa valoro de la malbone difinita esprimo

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$

Simile,

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0}$

sed

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\log _{e}4}$

La antaŭa estas la ĉefa valoro de la alia malbone difinita esprimo

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}}$

Ĉi tiuj patologioj ne afliktas lebego-integraleblaj funkcioj, tio estas, funkcioj la integraloj de kies absolutaj valoroj estas finiaj.