Ambaŭ punktoj estas afinaj

Se ambaŭ punktoj estas en afina 3-spaco (ne en malfinio), tiam ${\displaystyle W_{A}\neq 0}$ kaj ${\displaystyle W_{B}\neq 0}$. Ilia lineara kombinaĵo estas

${\displaystyle a[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:W_{B}]\ }$

${\displaystyle =[aX_{A}:aY_{A}:aZ_{A}:W_{A}]+[bX_{B}:bY_{B}:bZ_{B}:W_{B}]\ }$

${\displaystyle =\left[a{X_{A} \over W_{A}}:a{Y_{A} \over W_{A}}:a{Z_{A} \over W_{A}}:1\right]+\left[b{X_{B} \over W_{B}}:b{Y_{B} \over W_{B}}:b{Z_{B} \over W_{B}}:1\right]}$

${\displaystyle =\left[a{X_{A} \over W_{A}}+b{X_{B} \over W_{B}}:a{Y_{A} \over W_{A}}+b{Y_{B} \over W_{B}}:a{Z_{A} \over W_{A}}+b{Z_{B} \over W_{B}}:1\right].}$

Ambaŭ punktoj estas je malfinio

Se ambaŭ punktoj estas sur la ebeno je malfinio, tiam W_A = 0 kaj W_B = 0. Ilia lineara kombinaĵo estas

${\displaystyle a[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:W_{B}]=[aX_{A}:aY_{A}:aZ_{A}:0]+[bX_{B}:bY_{B}:bZ_{B}:0]}$

${\displaystyle =[aX_{A}+bX_{B}:aY_{A}+bY_{B}:aZ_{A}+bZ_{B}:0].}$

Unu punkto estas afina kaj la alia je malfinio

Estu la unua punkto esti afina, tiel ke ${\displaystyle W_{A}\neq 0}$. Tiam

${\displaystyle a[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:0]}$

${\displaystyle =a[0:0:0:0]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:0],}$

${\displaystyle =[bX_{B}:bY_{B}:bZ_{B}:0],}$

kio signifas, ke la punkto je malfinio estas domina.

Ĝenerala okazo

La kalkulo povas ankaŭ esti portita super sen distingi inter okazoj simile al la aldono de du punktoj:

${\displaystyle a[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:W_{B}]}$

${\displaystyle =[aW_{B}X_{A}+bW_{A}X_{B}:aW_{B}Y_{A}+bW_{A}Y_{B}:aW_{B}Z_{A}+bW_{A}Z_{B}:W_{A}W_{B}]}$

Startanta de ĉi tio, oni povas re-ricevi la formulojn por okazoj pli supre.

Aparte, apliko de ĉi tiu formulo en la degeneraj kazoj donas ke sumo de ${\displaystyle [0:0:0:0]}$ kun io alia produktas rezulton ${\displaystyle [0:0:0:0]}$ denove.