Hiperboloida modelo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Hiperboloida modelo.

La unua modelo komprenas hiperbolan spacon kiel hiperboloido en Rⁿ⁺¹ = {(x₀, ..., x_n)|x_i∈R, i=0, 1, ..., n}. La hiperboloido estas la situo Hⁿ de punktoj kies koordinatoj kontentigas kondiĉon

${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0}$

En ĉi tiu modelo la rekto estas geodezia, la kurbo eltranĉata per sekco de Hⁿ per ebeno tra la (0, 0, ..., 0) en Rⁿ⁺¹.

La hiperboloida modelo estas proksime rilatanta al la geometrio de spaco de Poincaré. La kvadrata formo

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}}$

kiu difinas la hiperboloidon polarizas por doni la dulinearan funkcion B difinitan kiel

${\displaystyle B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}.}$

La spaco Rⁿ⁺¹, kun la dulineara funkcio B estas (n+1)-dimensia spaco de Minkowski R^{n, 1}.

Tiel oni povas doni nocion de la distanco al la hiperboloida modelo, per difino de la distanco inter du punktoj x kaj y sur H kiel

d(x, y) = arcosh(B(x, y))

Ĉi tiu funkcio kontentigas la aksiomojn de metrika spaco. Ankaŭ, ĝi estas konservata per la ago de la lorenca grupo sur R^{n, 1}. Tiel la lorenca grupo agas kiel transforma grupo de izometrioj sur Hⁿ. Estas simileco de ĉi tiu distanco de distanco kun la elipsa geometrio (ĥorda metriko) sur sfero, kiu uzas trigonometrian funkcion anstataŭ la hiperbola funkcio.

Modelo de Klein

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Modelo de Klein.

Alternativa modelo de hiperbola geometrio estas sur certa malfermita aro en projekcia spaco. La kvadrata formo de Minkowski Q difinas subaron Uⁿ ⊂ RPⁿ donitan kiel situo de punktoj por kiu Q(x) > 0 en la homogenaj koordinatoj x. La domajno Uⁿ estas la modelo de Klein aŭ modelo de Beltrami-Klein de hiperbola spaco.

La rektoj en ĉi tiu modelo estas la malfermitaj segmentoj de la ĉirkaŭa projekcia spaco kiuj kuŝas) en Uⁿ. La distanco inter du punktoj x kaj y en Uⁿ estas difinita per

${\displaystyle d(x,y)=\operatorname {arccosh} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}\right)}$

Ĝi estas bone-difinita sur projekcia spaco, pro tio ke la rilatumo sub la inversa hiperbola kosinuso estas homogena de grado 0.

Ĉi tiu modelo estas rilatanta al la hiperboloida modelo en la sekva maniero. Ĉiu punkto x ∈ Uⁿ respektivas al rekto L_x tra la fonto en Rⁿ⁺¹, per la difino de projekcia spaco. Ĉi tiu linio sekcas la hiperboloidon Hⁿ en unika punkto. Reen, tra ĉiu punkto sur Hⁿ kaj tra la fonto estas unika rekto, kiu estas punkto en la projekcia spaco. Ĉi tiu rilato difinas reciproke unuvaloran surĵeton inter Uⁿ kaj Hⁿ. Ĝi estas izometrio pro tio ke komputado de d(x, y) laŭ Q(x) = Q(y) = 1 reproduktas la difinon de la distanco donita por la hiperboloida modelo.

Modeloj de Poincaré

Aliaj proksime rilatantaj modeloj de hiperbola geometrio estas la pilka modelo de Poincaré kaj la duonspaca modelo de Poincaré. En 2-dimensia okazo ili estas respektive diska modelo de Poincaré kaj duonebena modelo de Poincaré

La pilka modelo venas de rektlinia sfera projekcio de la hiperboloido en Rⁿ⁺¹ sur la ebeno {x₀ = 0}. Detale, estu S la punkto en R^{n, 1} kun koordinatoj (-1, 0, 0, ... ,0): la suda poluso por la rektlinia sfera projekcio. Por ĉiu punkto P sur la hiperboloido Hⁿ, estu P^* la unika punkto de intersekco de la rekto SP kun la ebeno {x₀ = 0}. Ĉi tiu establas dissurĵeton de Hⁿ en la unuan pilkon

${\displaystyle B^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})|x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}<1\}}$

en la ebeno {x₀ = 0}.

La geodeziaj en ĉi tiu modelo estas duoncirkloj kiuj estas perpendikularo al la randa sfero de B_n. Izometrioj de la pilko estas generitaj per sfera inversigo en hipersfero perpendikulara al la rando.

La duonspacaj modelaj rezultas de apliko de inversigo en punkto de la rando de Bⁿ. Ĉi tiu sendas cirklojn al cirkloj kaj rektoj, kaj estas ankaŭ konforma transformo. Sekve la geodeziaj de la duonspaca modelo estas rektoj kaj cirkloj perpendikularaj al la randa hiperebeno.

Rimanaj surfacoj

Du-dimensiaj hiperbolaj surfacoj povas ankaŭ esti komprenitaj per la rimanaj surfacoj. Laŭ la samformiga teoremo, ĉiu rimana surfaco estas elipsa, parabola aŭ hiperbola. Plejparto de hiperbolaj surfacoj havas ne-bagatelan fundamentan grupon ${\displaystyle \pi _{1}=\Gamma }$; la grupoj kiu aperas tiel estas sciataj kiel grupoj de Fuchsian. La kvocienta spaco H/Γ de la supra duonebeno module la fundamenta grupo estas la modelo de Fuchsian de la hiperbola surfaco. La duonebeno de Poincaré estas ankaŭ hiperbola, sed estas simple koneksa kaj nekompakta. Ĝi estas la universala kovro de la aliaj hiperbolaj surfacoj.

La analoga konstruado por tri-dimensiaj hiperbolaj surfacoj estas la modelo de Klein.