Je analitiko, harmonia funkcio^[1] estas dufoje kontinue derivebla funkcio, ĉe kiu la Laplaca operatoro havas la valoron nul.

Difino

Se ${\displaystyle (M,g)}$ estas Rimana sternaĵo, do oni povas difini la Laplacan operatoron

${\displaystyle \Delta =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\partial _{\nu }\colon {\mathcal {C}}^{2}(M)\to {\mathcal {C}}^{0}(M)}$

sur dufoje kontinue deriveblaj funkcioj sur ${\displaystyle M}$. En la ĉi-supra esprimo, ${\displaystyle \nabla }$ estas la kovarianta derivo difinita per la Rimana metriko ${\displaystyle g}$.

Harmonia funkcio ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle M}$ estas dufoje kontinue derivebla funkcio, kiu apartenas al la kerno de la Laplaca operatoro, t.e. estas ejgena vektoro, kies ejgeno estas nul:

${\displaystyle \Delta f=0}$.

En ${\displaystyle n}$-dimensia Eŭklida spaco, la Laplaca operatoro estas jena:

${\displaystyle \Delta =-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial x_{i})^{2}}}}$.

Tial, harmonia funkcio sur Eŭklida spaco plenumas la jenan ekavacion (la Laplacan ekvacion):

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{(\partial x_{i})^{2}}}}$.

Ekzemploj

Se ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ estas holomorfa funkcio, do la reela kaj imaginara partoj

${\displaystyle \operatorname {Re} f\colon \mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {C} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {Im} f\colon \mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {C} \to \mathbb {R} }$

estas harmoniaj funkcioj sur la dudimensia Eŭklida spaco ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (kun la plata metriko).

Historio

La termino “harmonia” devenas de la fakto, ke la harmoniaj funkcioj sur la dudimensia sfero, la sferaj harmoniaj funkcioj, konsistas el sinusoj kaj kosinusoj, kiuj priskribas muzike harmonian vibradon de kordoj de kordinstrumentoj.

Referencoj

• Nakamori, Kanzi; Yukio Suyama (1950). “Pri nelinea randoproblemo de ekvacioj Δu = 0 kaj Δu = f(x, y)”, Memoirs of the Faculty of Science, Kyūshū University A (eo) 5 (2), p. 99–106. 

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Harmonic function en MathWorld.