En grupa teorio, grupa homomorfio estas homomorfio inter grupoj, t.e. funkcio kiu konservas la algebran strukturon de grupoj (multipliko, inverso, neŭtrala elemento).

Difino

Se ${\displaystyle G}$ kaj ${\displaystyle H}$ estas grupoj, do grupa homomorfio de ${\displaystyle G}$ al ${\displaystyle H}$ estas funkcio ${\displaystyle f\colon G\to H}$ plenumanta la jenan aksiomon:

• Por ajnaj elementoj ${\displaystyle g,g'\in G}$, do ${\displaystyle f(g\cdot g')=f(g)\cdot f(g')}$.

El tio sekvas, tia funkcio konservas ankaŭ la aliajn strukturojn de la grupo (inverson, neŭtralan elementon):

• ${\displaystyle f(g)=f(1_{G}\cdot g)=f(1_{G})\cdot f(g)}$; tial ${\displaystyle f(1_{G})=1_{H}}$.
• ${\displaystyle 1_{H}=f(1_{G})=f(g\cdot g^{-1})=f(g)\cdot f(g^{-1})}$; tial ${\displaystyle f(g^{-1})=f(g)^{-1}}$.

Ekzemploj

• La funkcio ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},\,z\mapsto \mathrm {e} ^{z}}$ verigas ${\displaystyle \mathrm {e} ^{z+z'}=\mathrm {e} ^{z}\times \mathrm {e} ^{z'}}$. Ĝi do estas grupa homomorfio de ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ al ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\times )}$.
• La funkcio ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\,x\mapsto x\mod n}$ estas grupa homomorfio de ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ al ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Group homomorphism en MathWorld.