Ĉi tiu artikolo estas pri matematika koncepto. Pro la sociologia termino vidu artikolon grupa ago (sociologio).

En matematiko, simetria grupo priskribas ĉiujn simetriojn de objektoj. Ĉi tio estas formaligita per la nocio de grupa ago: ĉiu elemento de la grupo "agas" tiel, ke ĝi permutas laŭ "simetrio" elementojn de iu aro. En ĉi tia situacio, la grupo estas ankaŭ nomata permuta grupo (aparte se la aro estas finia aŭ ne estas vektora spaco) aŭ transforma grupo (aparte se la aro havas strukturon de vektora spaco kaj la elementoj de la grupo agas kiel ĝiaj linearaj transformoj). Permuta prezento de grupo G estas prezento de G kiel grupo de permutoj de iu aro (precipe, se la aro estas finia). Ĝi povas esti ekvivalente priskribita ankaŭ kiel grupa prezento de G per permutaj matricoj kaj estas kutime konsiderata en la finidimensia kazo - ĝi estas la sama kiel grupa ago de G sur ordita bazo de vektora spaco.

Difino

Se ${\displaystyle \mathrm {G} }$ estas grupo kaj ${\displaystyle \mathrm {X} }$ estas aro, tiam grupa ago de ${\displaystyle \mathrm {G} }$ sur ${\displaystyle \mathrm {X} }$ estas duvalenta operacio ${\displaystyle \cdot$ :\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} } (kies apliko al ${\displaystyle g\in \mathrm {G} }$ kaj ${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ estas notacie ${\displaystyle g\cdot x}$), kiu kontentigas jenajn du aksiomojn:

1. ${\displaystyle g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x}$ por ĉiuj ${\displaystyle g,h\in \mathrm {G} }$ kaj ${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$
2. ${\displaystyle e\cdot x=x}$ por ĉiu ${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$, kie ${\displaystyle e}$ estas la neŭtrala elemento de la grupo ${\displaystyle \mathrm {G} }$.

El ĉi tiuj du aksiomoj sekvas, ke por ĉiu ${\displaystyle g\in \mathrm {G} }$, la funkcio, kiu surĵetas ${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ al ${\displaystyle g\cdot x}$, estas dissurĵeto de ${\displaystyle \mathrm {X} }$ al ${\displaystyle \mathrm {X} }$. Tial oni povas alternative kaj ekvivalente difini grupan agon de ${\displaystyle \mathrm {G} }$ sur ${\displaystyle \mathrm {X} }$ kiel grupan homomorfion ${\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow {\mathcal {X}}}$, kie ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ estas simetria grupo sur ${\displaystyle \mathrm {X} }$, t.e. la grupo de ĉiuj dissurĵetoj de ${\displaystyle \mathrm {X} }$ al ${\displaystyle \mathrm {X} }$.

Pri grupa ago ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }$, oni alivortume diras, ke G agas sur aro X.

Ekzemploj

• La simetria grupo S_n kaj ĝiaj subgrupoj agas sur la aro { 1, ... , n }, permutante ĝiajn elementojn.
• La grupo de simetrioj de pluredro agas sur la aro de ĝiaj verticoj.
• La grupo de simetrioj de ĉiu geometria objekto agas sur la aro de punktoj de tiu objekto: ekzemple, la simetrioj de kubo kombinita el ok kubetoj kaj la diamanta teoremo

Ĝeneraligoj

Oni povas difini, ke sur aro agas ne grupo, sed monoido (algebra strukturo pli ĝenerala ol grupo) aŭ (eĉ pli ĝenerale) duongrupo, postulante la samajn du aksiomojn kiel ĉi-supre por monoidoj kaj nur la unuan aksiomon por duongrupoj. Tamen monoida ago kaj duongrupa ago ne difinas dissurĵetojn kaj ekvivalentrilatojn.