Por informo pri tio kiel grandaj nombroj estas nomataj, vidu la artikolon vortoj por grandegaj nombroj.

Grandaj nombroj estas nombroj, kiuj estas grave pli grandaj ol tiuj kiuj estas kutime uzitaj en ĉiutaga vivo, ekzemple en simpla nombrado aŭ en monaj transakcioj. La termino tipe signifas grandajn pozitivajn entjerojn, aŭ pli ĝenerale, grandajn pozitivajn reelajn nombrojn, sed ĝi povas ankaŭ esti uzata en aliaj ĉirkaŭtekstoj.

Tre grandaj nombroj ofte okazas en kampoj kiel matematiko, kosmologio kaj ĉifriko. Iam homoj epitetumas nombrojn kiel "astronomie grandaj". Tamen, facile eblas matematike difini nombrojn, kiuj estas multe pli grandaj ol tiuj uzataj eĉ en astronomio.

Uzado de scienca notacio por trakti grandajn kaj malgrandajn nombrojn

Scienca notacio estis kreita por trakti la larĝan gamon de valoroj kiuj okazas en scienca studo. 1,0 × 10⁹, ekzemple, estas unu miliardo, 1 sekvita de naŭ nuloj: 1 000 000 000, kaj 1,0 × 10⁻⁹ estas unu miliardono, aŭ 0,000 000 001. Skribi kiel 10⁹ anstataŭ naŭ nuloj ŝparas al legantoj la penon kaj hazardon de kalkulado de longa serio da nuloj por kompreni kiel granda estas la nombro.

Aldonado de 0 al la fino de nombro obligas ĝin per 10: 100 estas 10-oble 10. En scienca notacio, tamen, la eksponento nur pligrandiĝas je unu, de 10¹ al 10². Por nombroj en scienca notacio, malgrandaj ŝanĝoj en la eksponento signifas grandajn ŝanĝojn en la nombro mem.

Ekzemplaj grandaj nombroj

Normigita sistemo skribi tre grandajn nombrojn

Normigita maniero skribi tre grandajn nombrojn permesas al ili esti facile ordigitaj en pligrandiĝanta ordo, kaj oni povas akiri bonan ideon pri kiom pli granda iu nombro estas ol alia.

Supereksponento kun bazo 10 povas esti uzata por tre rondigitaj nombroj, ĉiu prezentanta ordon de grandeco en ĝenerala senco.

Nombroj interajn povas esti esprimitaj per potenca turo de nombroj 10, kun normala nombro ĉe la supro, eble en scienca notacio, ekz. ${\displaystyle 10^{\,\!10^{10^{10^{10^{4,829*10^{183230}}}}}}}$, nombro inter ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 7}$ kaj ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 8}$ (se la eksponento ĉe la supro estas inter 10 kaj ${\displaystyle 10^{10}}$, kiel ĉi tie, la nombro kiel la 7 estas la alto).

Se la alto estas tro granda por tutskribi la tutan potencan turon, notacio kiel ${\displaystyle (10\uparrow )^{183}(3,2*10^{6})}$ povas esti uzata, kie ${\displaystyle (10\uparrow )^{183}}$ estas la funkcia potenco de la funkcio ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$ .

Diversaj nomoj estas uzataj por tiu prezento:

• bazo-10 eksponenta tura formo
• supereksponenta notacio
• neplena potenca turo

La notacio ${\displaystyle (10\uparrow )^{183}(3,12*10^{6})}$ estas en askio ((10^)^183)3,12e6, proponita plisimpligo estas 10^^183@3,12e6; la notacioj 10^^1@3,12e6 kaj 10^^0@3,12e6 estas ne bezonataj, oni povas simple skribi kiel 10^3,12e6 kaj 3,12e6 respektive.

Tial gugloplekso = 10^^2@100 = 10^^3@2 = 10^^4@0,301; la notacio povas esti elektita por ĉiu aparte nombro, aŭ ĉiuj nombroj elektita same. En la lasta okazo kompari nombrojn estas iom pli simple. Ekzemple, kompari nombrojn 10^^2@23,8 kun 10^6e23 postulas la malgrandan kalkuladon 10^0,8=6,3 por vidi, ke la unua nombro estas pli granda.

Por normigi la limigon de la supra valoro (post la @), oni povas elekti unu el la limigoj 0 ... 1, 1 .... 10, aŭ 10 ... 1e10:

• Kun limigo 0 ... 1, eĉ pli mallonga notacio rezultiĝas, ekzemple gugloplekso = 10^^3,301 ^[3]. Ĉi tiu estas ne nur notacio, ĝi provizas samtempe ĝeneraligon de 10^^x al reela x>-2 (10^^4@0=10^^3, de ĉi tie la entjero antaŭ la punkto estas je unu malpli granda ol en la antaŭa notacio). Ĉi tiu funkcio povas aŭ povas ne konveni depende de postulita glateco kaj aliaj propraĵoj; ĝi estas monotone pligrandiĝanta kaj kontinua, kaj 10^^(x+1) = 10^(10^^x), sed ĝi estas nur popece diferencialebla. La inversa funkcio estas superlogaritmo, difinita por ĉiuj reelaj nombroj, ankaŭ negativaj nombroj. Vidu ankaŭ en supereksponento pri vastigado al reelaj nombroj.

• La limigo 10 ... 1e10 donas la notacion pli proksiman al ordinara scienca notacio, kaj la notacio estas reduktita al la ordinara scienca notacio se la nombro estas mem en tiu limigo (la parto "10^^0@" en komenco povas esti forigita).

Alia ekzemplo:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ kopioj de }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6.0\times 10^{19,728})}$ (inter ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$ kaj ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$)

La ordo aŭ pli precize grandoordo de nombro (sur pli granda skalo ol kutime), povas esti karakterizita per la kvanto de fojoj n kiun oni devas ripete preni la logaritmon ${\displaystyle log_{10}}$ por ricevi nombron inter 1 kaj 10. Tiam la nombro estas inter ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$ kaj ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$. Simila al ĉi tio estas funkcio ripetita logaritmo.

Estas propraĵo:

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

Kio estas, se nombro x estas prezentata kiel ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$ oni povas fari la potencan turon je 1 etaĝo pli altan kaj anstataŭi la valoron x per ${\displaystyle log_{10}x}$.

Se la alto de la turo ne estas akurate donita tiam doni valoron ĉe la supro ne havas sencon, kaj notacio kiel ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7,21*10^{8})}$ povas esti uzata.

Se la valoro post la duopa sago mem estas tre granda nombro, la formulo pli supre povas rekure esti aplikita al la valoro.

Ekzemploj:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{10^{10^{3,81*10^{17}}}}}$ (inter ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$ kaj ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$)

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9,73*10^{32})}$ (inter ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ kaj ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$)

Akurateco

Por nombro 10ⁿ, ĉiu unuo de ŝanĝo de n ŝanĝas la rezulton per faktoro 10. Estu ekzemple nombro ${\displaystyle 10^{8,2\times 10^{3}}}$, kaj estu la 8,2 la rezulto de rondigo al plej proksima, do la preciza valoro estas inter 8,15 kaj 8,25. Tiam la vera valoro de la eksponento povas esti je 50 malpli aŭ 50 pli. Do la preciza rezulto povas esti per faktoro 10⁵⁰ pli granda aŭ pli malgranda. Tiu estas kvazaŭe ege malbona akurateco, sed por ĉi tiaj grandaj nombroj ĝi povas esti konsiderata kiel normala, granda eraro en granda nombro povas esti relative malgranda kaj pro tio akceptebla.

Kun ege grandaj nombroj, la relativa eraro povas esti granda, ankoraŭ povas esti senco laŭ kiu ni bezonas konsideri la nombrojn kiel "proksima je grandeco". Ekzemple, estu

10¹⁰ kaj 10⁹

La relativa eraro estas

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

sufiĉe granda. Tamen, oni povas ankaŭ konsideri la relativan eraron en la logaritmoj; en ĉi tiu kazo, la logaritmoj (je bazo 10) estas 10 kaj 9, do la relativa eraro estas nur 10%.

La fakto estas, ke eksponentaj funkcioj grande pligrandigas relativajn erarojn – se a kaj b havas malgrandan relativan eraron,

10^a kaj 10^b

ne povas havi malgrandan relativan eraron, kaj

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$ kaj ${\displaystyle 10^{10^{b}}}$

havas ankoraŭ pli grandan relativan eraron. La demando tiam iĝas: sur kiu nivelo de ripetitaj logaritmoj oni deziru kompari du nombrojn? Estas senco en kiu oni eble bezonas konsideri nombrojn

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$ kaj ${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

kiel "proksimaj je grandeco". La relativa eraro inter ĉi tiuj du nombroj estas granda, kaj la relativa eraro inter iliaj logaritmoj estas ankoraŭ granda; tamen, la relativa eraro inter iliaj dua-ripetitaj logaritmoj (logaritmoj de logaritmoj) estas malgranda:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$ kaj ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

Tiaj komparoj de ripetitaj logaritmoj estas kutima ekzemple en analitika nombroteorio.

Proksimuma aritmetiko por tre grandaj nombroj

Estas iuj ĝeneralaj reguloj pri la kutimaj aritmetikaj operacioj plenumitaj sur tre grandaj nombroj:

• Sumo kaj produto de du tre grandaj nombroj ambaŭ proksimume egalas al la pli granda el la du fontaj nombroj.

• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

Do:

• Tre granda nombro altigita al tre granda potenco estas proksimume egala al la pli granda el jenaj du valoroj: la unua valoro kaj 10 en la potenco de la dua. Ekzemple, por tre granda n veras ${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$ kaj ankaŭ ${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$. Tial ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536>10\uparrow \uparrow 65533}$.

Nekomputeble grandaj nombroj

La diligenta kastora funkcio Σ estas ekzemplo de funkcio kiu kreskas pli rapide ol iu ajn komputebla funkcio. Ĝia valoro por eĉ relative malgranda enigo estas giganta. La valoroj de Σ(n) por n = 1, 2, 3, 4 estas 1, 4, 6, 13. Σ(5) estas ne sciata sed estas definitive ≥ 4098. Σ(6) estas almenaŭ 1.29×10⁸⁶⁵.

Nefiniaj nombroj

Kvankam ĉiuj ĉi tiuj nombroj pli supre estas tre grandaj, ili estas ĉiuj ankoraŭ finiaj. Iuj kampoj de matematiko difinas nefiniajn kaj transfiniajn nombrojn. Ekzemple, ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (vidu alef-nula) estas la kardinalo de la nefinia aro de naturaj nombroj, kaj alef-unua estas la sekva plej malgranda kardinalo. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ estas la kardinalo de la reelaj nombroj. La propozicio ke ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ estas nomata la kontinuumo-hipotezo.

Vidi ankaŭ:

• Granda kardinalo
• Kardinalo de Mahlo
• Nepriskribebla kardinalo

Notacioj

Iuj notacioj por ege grandaj nombroj:

• Notacio de Knuth / hiperoperatoroj / akermana funkcio, inkluzivante supereksponenton
• Sagiĉena notacio de Conway
• Notacio de Steinhaus-Moser krom maniero konstrui grandajn nombrojn, ĉi tiu ankaŭ engaĝas grafikan notacion kun poligonoj; alternativaj notacioj, kiel pli kutima funkcia notacio, povas ankaŭ esti uzita kun la samaj funkcioj.
• Notacio de la tabelo de Jonathan Bowers permesas al konsiderinde pli grandaj nombroj esti prezentitaj ol la supren-saga notacio de Knuth.

Ĉi tiuj notacioj estas esence funkcioj de entjeraj variabloj (kvankam iuj el ili estas ĝeneraligitaj al reelaj variabloj), kiuj pligrandiĝas tre rapide kun ĉi tiuj variabloj. Iam pli rapide pligrandiĝantaj funkcioj povas facile esti konstruitaj rekursie per apliki ĉi tiujn funkciojn kun grandaj entjeroj kiel argumento.

Notu, ke funkcio kun vertikala asimptoto estas ne helpema difini tre grandan nombron, kvankam la funkcio pligrandiĝas tre rapide: oni devas difini argumenton tre proksime al la asimptoto, kio estas uzi tre malgrandan nombron, kaj konstrui tion estas ekvivalentas konstrui tre grandan nombron, ekzemple per la inverso.

Vidu ankaŭ

• Historio de grandaj nombroj
• Numeralego
• Leĝo de grandaj nombroj
• Listo de nombroj
• Eksponenta funkcia kresko
• Supereksponento
• Hiperoperatoro
• Akermana funkcio
• Supren-saga notacio de Knuth
• Sagoĉena notacio de Conway
• Notacio de Steinhaus-Moser
• Hiperlogaritmo
• Ripetita logaritmo
• Malgranda nombro
• Guglo
• Gugloplekso
• Zilliono
• Granda O
• Scienca notacio
• Logaritmo
• Logaritma skalo
• Ordoj de grandeco
• Kalkulado
• Komputa komplikteorio
• Algoritma informa teorio
• Komputebleca teorio
• Granda kardinalo
• Kardinalo de Mahlo
• Nepriskribebla kardinalo

Referencoj

Eksteraj ligiloj

• Rimarkindaj propraĵoj de specifaj nombroj (lasta paĝo de serio kiu traktas la nombrojn en kreska ordo, de ĉi tie la plej grandajn nombrojn en la serio)
• "Grandaj nombroj" kaj "Rimarkindaj propraĵoj de specifaj nombroj" - Robert Munafo
• Grandaj nombroj - Susan Stepney
• Hamleto estas Granda Nombro - Jim Blowers (1) Arkivigite je 2006-09-02 per la retarkivo Wayback Machine, (2)
• Kiel al kalkuli kun grandaj nombroj - Dave L. Renfro
• Nombro de Graham kaj rapide kreskantaj funkcioj - Dave L. Renfro
• Diskuto kaj ŝanĝo de notacio
• Funkcio de Ackermann kaj novaj aritmetikaj operacioj - Rubtsov kaj Romerio
• Diversa terminologio por grandaj nombroj; enhavas erarojn
• Aldonaĵoj por Excel por funkcioj de etendita precizeco kaj matrica algebro - ĉiesaĵo, malfermita kodo.
• Really Big Numbers