En matematiko, funkcioj de Bessel, unue difinitaj de Daniel Bernoulli kaj ĝeneraligitaj de Friedrich Bessel, estas kanonaj solvaĵoj y(x) de diferenciala ekvacio de Bessel

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

por ajna reela aŭ kompleksa nombro α kiu (la ordo de la funkcio de Bessel); la plej komunaj kaj gravaj okazoj estas por α kiu estas entjero aŭ duono-entjero.

Kvankam α kaj -α produktas la saman diferencialan ekvacio, estas kutime difini malsamajn funkciojn de Bessel por ĉi tiuj du ordoj (ekzemple, por ke la funkcioj de Bessel estu plejparte glataj funkcioj de α). Funkcioj de Bessel estas ankaŭ sciata kiel cilindraj funkcioj aŭ cilindraj harmonoj ĉar ili estas trovataj en la solvaĵo al laplaca ekvacio en cilindraj koordinatoj.

Aplikoj de funkcio de Bessel

Ekvacio de Bessel ekestas kiam trovanta apartigeblaj solvaĵoj al laplaca ekvacio kaj la ekvacio de Helmholtz en cilindraj aŭ sferaj koordinatoj. Funkcioj de Bessel estas pro tio aparte grava por multaj problemoj de onda disvastigo kaj statika potencialoj. En solvanado problemoj en cilindraj koordinataj sistemoj, oni ricevas funkciojn de Bessel de entjero ordo (α = n); en sferaj problemoj, oni ricevas duono-entjerajn ordojn (α = n + 1/2). Ekzemple:

• Elektromagnetaj ondoj en cilindra ondokonduktilo;
• Varma kondukteco en cilindra objekto;
• Reĝimoj de vibrado de maldika cirkla (aŭ ringoforma) membrano (kiel tamburo aŭ alia membranofono);
• Difuzaj problemoj sur krado;
• Solvaĵoj al la radiusa ekvacio de Schrödinger (en sferaj kaj cilindraj koordinatoj) por libera partiklo;
• Solvado por ŝablonoj de akustika radiado.

Funkcioj de Bessel ankaŭ havas utilajn propraĵojn por aliaj problemoj, kiel signal-prilaborado (ekzemple, fenestro de Kaiser kaj filtrilo de Bessel).

Difinoj

Pro tio ke ĉi tiu estas dua-orda diferenciala ekvacio, tie devas esti du lineare sendependaj solvaĵoj. Dependante sur la situacio, tamen, diversaj formulaĵoj de ĉi tiuj solvaĵoj estas oportunaj, kaj la malsamaj variadoj estas priskribitaj pli sube.

Funkcioj de Bessel de la unua speco J_α

Grafikaĵo de funkcioj de Bessel de la unua speco, J_α(x), por entjeraj ordoj α = 0, 1, 2

Funkcioj de Bessel de la unua speco, signifitaj kiel J_α(x), estas solvaĵoj de diferenciala ekvacio de Bessel kiuj estas finia je la fonto (x=0) por entjero α, kaj malkonverĝas kiam x proksimiĝas al 0 por negativa ne-entjera α. La solvaĵa speco kaj normaligo de J_α(x) estas difinitaj per ĝiaj propraĵoj pli sube. Eblas difini la funkcion per ĝia elvolvaĵo ĉirkaŭ x=0 per serio de Taylor:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\tfrac {1}{2}}x\right)}^{2m+\alpha }}$

kie Γ(z) estas la Γ-funkcio (bazita sur ĝeneraligo de la faktoriala funkcio al ne-entjeraj valoroj). La grafikaĵoj de funkcioj de Bessel aspektas proksimume kiel oscilanta sinusa aŭ kosinusa funkcioj kiu malpligrandiĝas proporcie al 1/√x (vidu ankaŭ iliajn asimptotajn formojn pli sube), kvankam iliaj radikoj estas ĝenerale ne perioda, escepti asimptote por granda x. La serio de Taylor indikas ke -J₁(x) estas la derivaĵo de J₀(x), simile al tio ke -sin(x) estas la derivaĵo de cos(x); pli ĝenerale, la derivaĵo de J_n(x) povas esti esprimita per J_n±1(x) per la identoj donitaj pli sube.

Por ne-entjera α, la funkcioj J_α(x) kaj J_-α(x) estas lineare sendependaj, kaj estas pro tio la du solvaĵoj de la diferenciala ekvacio. Aliflanke, por entjera orda n, jena interrilato estas valida (notu ke la Γ-funkcio iĝas malfinion por negativaj entjeraj argumentoj):

${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)}$

Ĉi tio signifas ke la du solvaĵoj estas jam ne lineare sendependaj. En ĉi tiu okazo, la dua lineare sendependa solvaĵo estas la funkcio de Bessel de la dua speco, kiel diskutita pli sube.

Integraloj de Bessel

Alia difino de la funkcio de Bessel, por entjeraj valoroj de n, estas ebla per integrala prezento

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau }$

Alia integrala prezento estas

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(n\tau -x\sin(\tau ))}\,d\tau }$

Ĉi tiu estis la maniero kiun Bessel uzis, kaj de ĉi tiu difino li derivis kelkajn propraĵojn de la funkcio. La difino povas esti etendita al ne-entjeraj ordoj per adicio de la alia flanko

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin(\tau ))\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}\,dt}$

aŭ por α>-1/2 per

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2^{\alpha -1}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}}){\sqrt {\pi }}\,x^{\alpha }}}\int _{0}^{x}(x^{2}-\tau ^{2})^{\alpha -1/2}\cos \tau \,d\tau }$

Rilato al hipergeometria serio

La funkcioj de Bessel povas esti esprimitaj per la ĝeneraligita hipergeometria serio kiel

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {(x/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}(\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2})}$

Ĉi tiu esprimo estas rilatanta al la evoluo de funkcioj de Bessel per la funkcio de Bessel-Clifford.

Rilato al polinomoj de Laguerre

Per la polinomoj de Laguerre L_k kaj arbitre elektita parametro t, la funkcio de Bessel povas esti esprimita kiel

${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{k+\alpha \choose k}}{\frac {t^{k}}{k!}}}$

Funkcioj de Bessel de la dua speco Y_α

Grafika prezento de funkcio de Bessel de la dua speco, Y_α(x), por entjeraj ordoj α = 0, 1, 2.

La funkcioj de Bessel de la dua speco, signifitaj per Y_α(x), estas solvaĵoj de la diferenciala ekvacio de Bessel. Ili havas specialaĵon je la fonto (x=0).

Y_α(x) estas iam ankaŭ nomata kiel la funkcio de Neumann, kaj estas foje signifita anstataŭe per N_α(x). Por ne-entjera α, ĝi estas rilatanta al J_α(x) per:

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}}$

Ĉe entjera ordo n, la funkcio estas difinita per preno de la limeso kiam ne-entjera α strebas al n:

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x)}$

kiu havas la rezulton (en integrala formo)

${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt}$

Y_α(x) estas necesa kiel la dua lineare sendependa solvaĵo de la ekvacio de Bessel se α estas entjero. Sed Y_α(x) havas plian signifon ol ĉu tiu. Ĝi povas esti konsiderata kiel natura asociano de J_α(x). Vidu ankaŭ la subĉapitron pri funkcioj de Hankel pli sube.

Se α estas entjero, ankaŭ, kiel estas simile en la okazo por la funkcioj de la unua speco, jena interrilato estas valida:

${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)}$

Ambaŭ J_α(x) kaj Y_α(x) estas holomorfaj funkcioj de x sur la kompleksa ebeno kun tranĉo laŭ la negativa reela duonakso. Se α estas entjero, do la funkcioj de Bessel J estas tutaj funkcioj de x. Se x estas tenita fiksita, do la funkcioj de Bessel estas tutaj funkcioj de α.

Modifitaj funkcioj de Bessel I_α, K_α

Modifitaj funkcioj de Bessel de 1-a speco I_α(x) por α = 0, 1, 2, 3

Modifitaj funkcioj de Bessel de 2-a speco K_α(x) por α = 0, 1, 2, 3

La funkcioj de Bessel estas valida eĉ por kompleksaj argumentoj x, kaj grava speciala okazo estas tiu de pure imaginara argumento. En ĉi tiu okazo, la solvaĵoj al la ekvacio de Bessel estas nomataj kiel la modifitaj funkcioj de Bessel aŭ hiperbolaj funkcioj de Bessel de la unua kaj dua speco, kaj estas difinita per iu el ĉi tiuj ekvivalentaj alternativoj:

${\displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)=-{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}e^{-i\pi \alpha }H_{\alpha }^{(2)}(-ix)}$

Ekzistas multaj integralaj prezentoj de ĉi tiuj funkcioj. Jena por K_α(x), estas utila por la kalkulo de la propagilo de Feynman en kampa teorio:

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}\alpha \pi i}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ix\sinh t-\alpha t}\,dt}$

Ĉi tiuj estas elektitaj al esti reelo-valoraj por reelaj pozitivaj argumentoj x. La seria elvolvaĵo por I_α(x) estas tial simila al tiu por J_α(x), sed sen la alterna (-1)^m faktoro.

I_α(x) kaj K_α(x) estas la du lineare sendependaj solvaĵoj al la modifita ekvacio de Bessel:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0}$

Malsimile al la ordinaraj funkcioj de Bessel, kiuj estas oscilantaj kiel funkcioj de reela argumento, I_α kaj K_α estas eksponente kreskanta kaj eksponente malkreskanta funkcioj respektive. Simile al la ordinara funkcio de Bessel J_α, la funkcio I_α iras al nulo je x=0 por α>0 kaj estas finia je x=0 por α=0. Analoge, K_α malkonverĝas je x=0 por entjera α .

Modifitaj funkcioj de Bessel K_1/3 kaj K_2/3 povas esti prezentitaj per rapide konverĝantaj integraloj

${\displaystyle K_{1/3}(\xi )={\sqrt {3}}\,\int _{0}^{\infty }\,\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx}$

${\displaystyle K_{2/3}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\int _{0}^{\infty }\,{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+x^{2}/3}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx}$

La modifita funkcio de Bessel de la dua speco ankaŭ estadas nomata per la nun maloftaj nomoj:

• funkcio de Basset
• modifita funkcio de Bessel de la tria speco
• modifita funkcio de Hankel
• funkcio de MacDonald

Sferaj funkcioj de Bessel j_n, y_n

Sferaj funkcioj de Bessel de 1-a speco j_n(x) por n = 0, 1, 2

Sferaj funkcioj de Bessel de 2-a speco y_n(x) por n = 0, 1, 2

En solvado de la ekvacio de Helmholtz en sferaj koordinatoj per apartigo de variabloj, la radiusa ekvacio havas formon:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0}$

La du lineare sendependaj solvaĵoj de ĉi tiu ekvacio estas nomataj kiel la sferaj funkcioj de Bessel j_n kaj y_n, kaj estas rilatantaj al la ordinaraj funkcioj de Bessel J_n kaj Y_n per

${\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x)}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-1/2}(x)}$

y_n estadas ankaŭ signifata kiel n_n aŭ η_n; iuj aŭtoroj nomas ĉi tiujn funkciojn kiel la sferaj funkcioj de Neumann.

La sferaj funkcioj de Bessel povas ankaŭ esti skribita kiel (la formuloj de Rayleigh):

${\displaystyle j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\sin(x)}{x}}}$

${\displaystyle y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\cos(x)}{x}}}$

La unua sfera funkcio de Bessel j₀(x) estas ankaŭ sciata kiel la nenormigita sinc funkcio. La unuaj kelkaj sferaj funkcioj de Bessel estas:

${\displaystyle j_{0}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

${\displaystyle j_{1}(x)={\frac {\sin(x)}{x^{2}}}-{\frac {\cos(x)}{x}}}$

${\displaystyle j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin(x)}{x}}-{\frac {3\cos(x)}{x^{2}}}}$

${\displaystyle j_{3}(x)=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin(x)}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos(x)}{x}}}$

kaj

${\displaystyle y_{0}(x)=-j_{-1}(x)=-\,{\frac {\cos(x)}{x}}}$

${\displaystyle y_{1}(x)=j_{-2}(x)=-\,{\frac {\cos(x)}{x^{2}}}-{\frac {\sin(x)}{x}}}$

${\displaystyle y_{2}(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos(x)}{x}}-{\frac {3\sin(x)}{x^{2}}}}$

${\displaystyle y_{3}(x)=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos(x)}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin(x)}{x}}}$

La ĝenerala idento estas

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sum _{i=0}^{\frac {n+1}{2}}(-1)^{n-i}&\left(\sin(x)\left({\frac {2}{x}}\right)^{n-2i}{\frac {(n-i)!}{i!}}{-{\frac {1}{2}}-i \choose n-2i}\right.\\&\left.{}-\cos(x)\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1-2i}{\frac {(n-i)!}{i!}}i{-{\frac {1}{2}}-i \choose n-2i+1}\right)\end{aligned}}}$

kie la supra limigo de sumado estas komprenita al esti la plej granda entjero malpli granda ol aŭ egala al (n+1)/2.

Generantaj funkcioj

La sferaj funkcioj de Bessel havas la generantajn funkciojn

${\displaystyle {\frac {1}{z}}\cos({\sqrt {z^{2}-2zt}})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}\sin({\sqrt {z^{2}+2zt}})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(z)}$

Diferencialaj rilatoj

En jena formulo f_n estas ĉiu el ${\displaystyle j_{n},y_{n},h_{n}^{(1)},h_{n}^{(2)}}$ por n = 0, ±1, ±2, ...

${\displaystyle \left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)=z^{(n-m)+1}f_{(n-m)}(z)}$

Asimptotaj formoj

La funkcioj de Bessel havas jenajn asimptotajn formojn por nenegativa α. Por malgrandaj argumentoj ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}\left(\ln(x/2)+\gamma \right)&\alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&\alpha >0\end{cases}}}$

kie γ estas la konstanto de Eŭlero-Mascheroni (0,5772...) kaj Γ estas la Γ-funkcio. Por grandaj argumentoj ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$, ili estas

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

Por α=1/2 ĉi tiuj formuloj estas akurataj; vidu la sferajn funkciojn de Bessel pli supre. Asimptotaj formoj por la aliaj specoj de funkcioj de Bessel sekvas simple de la pli supre donitaj rilatoj. Ekzemple, por granda ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$, la modifitaj funkcioj de Bessel estas:

${\displaystyle I_{\alpha }(x)\approx {\frac {e^{x}}{\sqrt {2\pi x}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8x}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)}{2!(8x)^{2}}}-{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)(4\alpha ^{2}-25)}{3!(8x)^{3}}}+\cdots \right)}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8x}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)}{2!(8x)^{2}}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)(4\alpha ^{2}-25)}{3!(8x)^{3}}}+\cdots \right)}$

Simile, la lastaj esprimoj estas akurataj por α = 1/2.

Por malgrandaj argumentoj ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ ili estas:

${\displaystyle I_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}-\ln(x/2)-\gamma &\alpha =0\\\\{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&\alpha >0\end{cases}}}$

Proprecoj

Por entjera ordo n, J_n estas ofte difinita per serio de Laurent por generanta funkcio

${\displaystyle e^{(x/2)(t-1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$

kio estas maniero uzita de P. A. Hansen en 1843. Ĉi tio povas esti ĝeneraligita al ne-entjeraj ordo per kontura integralado aŭ aliaj manieroj. Alia grava rilato por entjeraj ordoj estas la elvolvaĵo de Jacobi-Anger:

${\displaystyle e^{iz\cos(\phi )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}$

kaj

${\displaystyle e^{iz\sin(\phi )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)e^{in\phi }}$

kiu estas uzata por elvolvi ebenan ondon kiel sumo de cilindraj ondoj, aŭ por trovi la serion de Fourier de tono-modulita frekvence modulita signalo.

Pli ĝenerale, serio

${\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}$

estas nomata kiel elvolvaĵo de Neumann de f. La koeficientoj por ν=0 havas la eksplicitan formon

${\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}$

kie O_k estas polinomo de Neumann.

Elektitaj funkcioj konsentas la specialan prezenton

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}$

kun

${\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\mathrm {d} z}$

pro la orteca rilato ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {\mathrm {d} z}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$

Pli ĝenerale, se f havas branĉo-punkton proksime de la fonto de tia naturo ke ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)}$ do

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{(s+{\sqrt {1+s^{2}}})^{\nu +k}}}}$

aŭ

${\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)}$

kie ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$ estas laplaca transformo de f.

Alia maniero difini la funkciojn de Bessel estas la prezenta formulo de Poisson kaj la formulo de Mehler-Sonine:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {({\frac {z}{2}})^{\nu }}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}}){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}(1-s^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds,\\&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin(zu)}{(u^{2}-1)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du,\end{aligned}}}$

kie ν > -1/2 kaj z estas kompleksa nombro. Ĉi tiu formulo estas utila aparte en laboro kun konvertoj de Fourier.

La funkcioj J_α, Y_α, H_α⁽¹⁾, kaj H_α⁽²⁾ ĉiuj kontentigas la rikurecajn rilatojn:

${\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}$

${\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x)}$

kie Z estas J, Y, H⁽¹⁾ aŭ H⁽²⁾. Ĉi tiuj du identoj estas ofte kombinitaj, ekzemple adiciitaj aŭ subtrahitaj, por liveri diversajn aliajn rilatojn. Tiamaniere, ekzemple, oni povas komputi funkciojn de Bessel de pli altaj ordoj (aŭ pli altajn derivaĵojn) per donitaj valoroj je suba ordoj (aŭ subaj derivaĵoj). Tiel, el ĉi tio sekvas ke

${\displaystyle \left({\frac {d}{xdx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{xdx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}}$

Modifitaj funkcioj de Bessel sekvas similajn rilatojn

${\displaystyle e^{(x/2)(t+1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}$

kaj

${\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos(n\theta )}$

La rikureca rilato estas

${\displaystyle C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)=2{\frac {dC_{\alpha }}{dx}}}$

kie C_α estas I_α aŭ e^απiK_α. Ĉi tiuj rikurecaj rilatoj estas utilaj por diskretaj difuzaj problemoj.

Ĉar ekvacio de Bessel iĝas hermita (memadjunkta) se ĝi estas dividita per x, la solvaĵoj devas kontentigi ortecan interrilaton por konvenaj randaj kondiĉoj. Aparte, el ĉi tio sekvas ke

${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})J_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[J_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[J_{\alpha }'(u_{\alpha ,m})]^{2}}$

kie α>-1, δ_m,n estas la delto de Kronecker, kaj u_α,m estas la m-a nulo de J_α(x). Ĉi tiu orteca rilato povas tiam esti uzata por ekstrakti la koeficientojn en la serio de Fourier-Bessel, kie funkcio estas elvolvita en la bazo de la funkcioj J_α(x u_α,m) por fiksita α kaj varianta m.

Analoga interrilato por la sferaj funkcioj de Bessel estas

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})j_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[j_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})]^{2}}$

Alia orteca rilato estas la fermaĵa ekvacio

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}$

por α>-1/2 kie δ estas la diraka delta funkcio. Ĉi tiu propraĵo estas uzata por konstrui ajnan funkcion de serio de funkcioj de Bessel per la konverto de Hankel. Por la sferaj funkcioj de Bessel la orteca rilato estas:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)}$

por α>-1.

Alia grava propreco de ekvacioj de Bessel, kiu sekvas el abela idento, estas

${\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}$

kie A_α kaj B_α estas ĉiuj du solvaĵoj de ekvacio de Bessel, kaj C_α estas konstanto sendependa de x (kiu dependas de α kaj de la apartaj funkcioj de Bessel konsiderataj). Ekzemple, se A_α = J_α kaj B_α = Y_α, do C_α=2/π. Ĉi tio veras ankaŭ por la modifitaj funkcioj de Bessel, ekzemple, se A_α = I_α kaj B_α = K_α, do C_α=-1.

Estas granda kvanto de la aliaj sciataj integraloj kaj identoj.

Multiplika teoremo

La funkcioj de Bessel kontentigas multiplikan teoremon

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z)}$

kie λ kaj ν povas esti ajnaj kompleksaj nombroj. Simila formo povas esti donita por ${\displaystyle Y_{\nu }(z)}$ kaj kaj tiel plu

Hipotezo de Bourget

Bessel mem originale pruvis ke por nenegativaj entjeroj n, la ekvacio J_n(x) = 0 havas malfinian kvanton de solvaĵoj por x. Kiam la funkcioj J_n(x) estas grafike prezentitaj sur la sama grafikaĵo, kvankam, neniu el la nuloj aspektas al koincidi por malsamaj valoroj de n krom la nulo je x=0. Ĉi tio estas sciata kiel hipotezo de Bourget post la dek-naŭa jarcenta franca matematikisto kiu studis funkciojn de Bessel. Aparte ĝi statas ke por ĉiu entjeroj n≥0 kaj m≥1, la funkcioj J_n(x) kaj J_n+m(x) ne havas komunajn nulojn escepte de la unu je x=0. La hipotezo estis pruvita de Siegel en 1929.

Derivaĵoj de J, Y, I, H, K

Iuj identoj

• ${\displaystyle I_{-1/2}(z)={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cosh(z)}$
• ${\displaystyle I_{1/2}(z)={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sinh(z)}$
• ${\displaystyle I_{\nu }(z)=\sum _{k=0}{\frac {z^{k}}{k!}}J_{\nu +k}(z)}$
• ${\displaystyle J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}(-1)^{k}{\frac {z^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z)}$
• ${\displaystyle I_{\nu }(\lambda z)=\lambda ^{\nu }\sum _{k=0}{\frac {\left({\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)z\right)^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z)}$
• ${\displaystyle I_{\nu }(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }I_{\nu -k}(z_{1})I_{k}(z_{2}),\quad J_{\nu }(z_{1}\pm z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{\nu \mp k}(z_{1})J_{k}(z_{2})}$
• ${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z)),\quad I_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z))}$
• ${\displaystyle J_{\nu }'(z)={\tfrac {1}{2}}(J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)),\quad I_{\nu }'(z)={\tfrac {1}{2}}(I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z))}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{\nu }=\Gamma (\nu )\sum _{k=0}I_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}=\Gamma (\nu )\sum _{k=0}(-1)^{k}J_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}=\Gamma (\nu +1)\sum _{k=0}{\frac {1}{k!}}\left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{k}J_{\nu +k}(z)}$
• ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\mathrm {e} ^{-z}z^{-1/2},\,z>0}$

Vidu ankaŭ

• Γ-funkcio
• Funkcio de Bessel-Clifford
• Polinomo de Bessel
• Propagilo
• Serio de Fourier-Bessel
• Funkcio de Struve
• Funkcio de Kelvin
• Funkcio de Lommel
• Polinomo de Lommel
• Polinomo de Neumann
• Vibradoj de cirkla tamburo
• Filtrilo de Bessel
• Trigonometria funkcio

Eksteraj ligiloj

• Lizorkin, P. I., Funkcioj de Bessel en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Karmazina, L. N.; Prudnikov, A.P., Cilindraj funkcioj en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Rozov, N. Kh., Ekvacio de Bessel en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Funkciaj paĝoj de Wolfram pri funkcioj de Bessel: J kaj Y funkcioj, kaj modifitaj I kaj K funkcioj
• Eric W. Weisstein, Funkcioj de Bessel de la unua speco en MathWorld.
• Arkivigite je 2010-09-23 per la retarkivo Wayback Machine
• Abramowitz kaj Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4. Pri funkcioj de Hankel
• Abramowitz kaj Stegun, p. 360, 9.1.10, serio de Taylor de funkcioj de Bessel
• Abramowitz kaj Stegun, p. 363, 9.1.74. Multiplika teoremo
• Abramowitz kaj Stegun, p. 374, 9.6.1. Du lineare sendependaj solvaĵoj al la modifita ekvacio de Bessel
• Abramowitz kaj Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11. Modifitaj funkcioj de Bessel
• Abramowitz kaj Stegun, p. 377, 9.7.1. Asimptotaj formoj por la modifitaj funkcioj de Bessel
• Abramowitz kaj Stegun, p. 378, 9.7.2. Asimptotaj formoj por la modifitaj funkcioj de Bessel
• Abramowitz kaj Stegun, p. 437, 10.1.1. Sferaj funkcioj de Bessel
• Abramowitz kaj Stegun, p. 438, 10.1.11. j₂(x), y₂(x)
• Abramowitz kaj Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26. La formuloj de Rayleigh por la sferaj funkcioj de Bessel, generantaj funkcioj, diferencialaj rilatoj
• Arkivigite je 2012-02-04 per la retarkivo Wayback Machine
• C. Truesdell. Pri la adicia kaj multiplika teoremoj por la specialaj funkcioj. Paperoj de la Nacia Akademio de Sciencoj, Matematiko, (1950) pp.752–757.