Pri la aliaj funkcioj estas skribataj per la litero ζ rigardu en funkcio ζ (apartigilo).

Funkcio: zeto de Riemann – unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

${\displaystyle {\zeta }(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{z}}$

Serio estas konverĝa por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

Ecoj

Por nombroj ${\displaystyle z}$ kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

${\displaystyle {\zeta }(z)=2^{z}\pi ^{1/z}\Gamma (1-z){\zeta }(1-z)}$

kaj ${\displaystyle \Gamma }$ estas funkcio Γ de Euler.

Diagramo de ζ(x)

Kelkaj valoroj

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}$

La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto

Ojler montris ke

${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{{\text{prima }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{z}}}\right)^{-1}=\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)^{-1}\left(1-{\frac {1}{3^{z}}}\right)^{-1}\left(1-{\frac {1}{5^{z}}}\right)^{-1}\ldots }$

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu ${\displaystyle z}$ kies reela parto estas pli ol ${\displaystyle 1}$.

Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke

${\displaystyle \zeta (z)=1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}\ldots }$ ${\displaystyle \implies \zeta (z){\frac {1}{2^{z}}}={\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+{\frac {1}{6^{z}}}\ldots }$

Per subtraho, oni trovas

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)=1+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{5^{z}}}\ldots }$

En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right){\frac {1}{3^{z}}}={\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{9^{z}}}+{\frac {1}{15^{z}}}+\ldots }$

Alia subtraho vidigas ke

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{z}}}\right)=1+{\frac {1}{5^{z}}}+{\frac {1}{7^{z}}}+\ldots }$

Ĉiu nombro dividebla per ${\displaystyle 3}$ estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per ${\displaystyle 3}$. Simile,

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{z}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{z}}}\right)=1+{\frac {1}{7^{z}}}+{\frac {1}{11^{z}}}+\ldots }$

kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per ${\displaystyle 2,3}$ aŭ ${\displaystyle 5}$ (kaj nur tiuj).

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto ${\displaystyle \zeta (z)\prod _{{\text{prima }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{z}}}\right)}$, kaj la dekstra nombra konverĝas al ${\displaystyle 1}$. Oni tuj atingas la proponatan egalecon.

Rimarko: la serio kiu difinas ${\displaystyle \zeta }$ konverĝas absolute, se la reala parto de ${\displaystyle z}$ estas pli ol ${\displaystyle 1}$. Tio permesas montri que la dekstra limito estas ${\displaystyle 1}$.

Vidu ankaŭ

• ZetaGrid