En matematiko, speciale en nombroteorio, la fundamenta teoremo de aritmetiko aŭ teoremo pri unika faktorado estas la aserto, ke ĉiu natura nombro pli granda ol 1 aŭ mem estas primo, aŭ egalas al produto de primoj, kaj ke ĉi tia faktorado estas unika krom la ordo de faktoroj. Ekzemple:
- 6936 = 23·3·172
- 1200 = 24·3·52
kaj ne ekzistas la aliaj faktoradoj de 6936 aŭ 1200 en primojn, se oni ignoras la ordon de la faktoroj.
Por ke tiu ĉu teoremo validu ankaŭ por la nombro 1, oni povas uzi la konvencion, ke 1 estas produto de nula kvanto da primoj (alivorte, malplena produto).
Aplikoj
La teoremo montras la gravecon de primoj. La primoj estas la bazaj konstruaj blokoj de la pozitivaj entjeroj, en la senco ke ĉiu pozitiva entjero povas esti konstruita el primoj, kaj estas esence nur unu ĉi tia konstruado.
Scio de la prima faktorado de nombro donas plenan scion pri ĉiuj primaj kaj ne-primaj divizoroj de la nombro.
Ekzemple, la pli supre donita faktorado de 6936 donas ke ĉiu pozitiva dividanto de 6936 devas havas la formon 2a·3b·17c, kie a povas esti iu ajn unu el la 4 valoroj el {0, 1, 2, 3}, b povas esti iu ajn unu el la 2 valoroj el {0, 1}, kaj kie c povas esti iu ajn unu el la 3 valoroj el {0, 1, 2}. Multiplikado la kvantoj de la valoroj inter si kune donas la tutecan kvanton de pozitivaj divizoroj 4·2·3 = 24.
Se la prima faktorado de du nombroj estas konata, iliaj plej granda komuna divizoro kaj plej malgranda komuna oblo povas esti trovitaj. Ekzemple, de la pli supra ekzemplo oni vidas ke la plej granda komuna divizoro de 6936 kaj 1200 estas 23·3 = 24. Tamen la uzo de la eŭklida algoritmo por kalkulado de la plej granda komuna divizoro ĝenerale postulas multa malpli grandan kvanton de kalkuladoj ol faktorado de la du nombroj.
La fundamenta teoremo certigas, ke adicia kaj multiplika Aritmetika funkcio estas plene difinita per siaj valoroj ĉe la potencoj de primoj.
Pruvo
La teoremo estis esence unue pruvita de Eŭklido, sed la unua plena kaj ĝusta pruvo estas en la Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauß.
Kvankam unuavide ĝi aspektas kiel evidenta, ĝi ne veras en pli ĝeneralaj nombrosistemoj, inkluzive multajn ringojn de algebraj entjeroj. Ĉi tion unue notis Ernst Kummer en 1843, en sia laboro pri la lasta teoremo de Fermat. La rekono de ĉi tiu malsukceso estas unu el la plej fruaj rezultoj en algebra nombroteorio.
La pruvo konsistas el du partoj: unue, oni devas montri ke ĉiu nombro povas esti skrabata kiel produto de primoj; due oni devas montri ke ĉiuj du ĉi tiaj prezentoj estas esence la samaj.
Supozu, ke ekzistas pozitiva entjero, kiu ne povas esti prezentita kiel produto de primoj. Tiam tie devas esti la plej malgranda ĉi tia nombro; estu ĝi n. Ĉi tiu nombro n ne povas esti 1, pro la konvencio pli supre. Ĝi ne povas esti primo, pro tio ke ĉiu primo estas produto de sola primo, ĝi mem. Tiel ĝi devas esti komponigita nombro. Tial
- n = ab
kie ambaŭ a kaj b estas pozitivaj entjeroj pli malgrandaj ol n. Pro tio ke n estis la plej malgranda nombro por kiu la teoremo malveras, ambaŭ a kaj b povas esti skribitaj kiel produtoj de primoj. Sed tiam
- n = ab
povas esti skribita kiel produto de primoj same bone, kio estas kontraŭdiro. Ĉi tio estas minimuma kontraŭekzempla argumento.
La unikecoparto de la pruvo baziĝas sur jena fakto: se primo p dividas produton ab, tiam ĝi dividas a aŭ ĝi dividas b (la eŭklida lemo). La pruvo de ĝi estas jena. Se p ne dividas a, tiam p kaj a estas [[Reciproka primeco|reciproke primaj] kaj idento de Bézout donas entjerojn x kaj y tiajn ke
- px + ay = 1
Multiplikante per b ambaŭ flankojn rezultas
- pbx + aby = b
kaj pro tio ke ambaŭ termoj maldekstre estas divideblaj per p, la dekstra flanko estas ankaŭ dividebla per p, kio estas la pruvata afero.
Nun prenu du produtojn de primoj kiuj estas egalaj. Prenu ĉiun primon p de la unua produto. Ĝi dividas la unuan produton, kaj de ĉi tie ankaŭ la duan. Per la pli supra lemo, p devas tiam dividi almenaŭ unu faktoron en la dua produto. Sed la faktoroj estas mem ĉiuj primoj sin, tiel p devas reale esti egala al unu el la faktoroj de la dua produto. Tiel ni povas forigi p de ambaŭ produtoj, kaj ilia egaleco inter si daŭre restas. Daŭrante per ĉi tiu maniero, oni povas vidi ke la primaj faktoroj de la du produtoj devas kongrui precize.
Vidu ankaŭ
- Fundamenta teoremo de algebro
- Filozofio de matematiko
- Entjera faktorado
- Prima faktoriga algoritmo
- Prima signumo
- Plej granda komuna divizoro
- Plej malgranda komuna oblo