Polusoj kaj nuloj

Logaritmo de la absoluta valoro de la amplifo de 8-orda speco-I-filtrilo de Ĉebiŝev en kompleksa frekvenca spaco (s = σ + jω) kun ε=0,1 kaj ω₀=1. La blankaj makuloj estas polusoj kaj estas aranĝitaj sur elipso kun duonakso de 0,3836... en σ kaj 1,071... en ω. La polusoj de tradona funkcio estas tiuj polusoj en la maldekstra duonebeno. Nigra respektivas al amplifo de 0,05 aŭ malpli, blanka respektivas al amplifo de 20 aŭ pli.

Por simpleco, alprenu ke la fortranĉa frekvenco estas egala al 1. La polusoj ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ de la amplifo de la filtrilo de Ĉebiŝev estos je la nuloj de la denominatoro de la amplifo. Uzante la kompleksan frekvencon s la ekvacio por ili estas:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0}$

Difinante θ tiel ke -js=cos(θ) kaj uzante la trigonometrian difinon de la polinomoj de Ĉebiŝev rezultas:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0}$

Solvante por θ

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}}$

kie la multaj valoroj de la arkokosinusa funkcio estas faritaj eksplicite uzante la entjeran indekson m. La polusoj de la kompleksa amplifa funkcio estas do

${\displaystyle s_{pm}=j\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle =j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right)}$

Uzante la ecojn de la trigonometriaj kaj hiperbolaj funkcioj, ĉi tio povas esti skribita en eksplicita kompleksa formo:

${\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})+}$

${\displaystyle j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

kie m = 1, 2,..., n kaj

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}}$

Ĉi tio povas esti vidita kiel ekvacio parametra de θ_n kaj ĝi montras ke polusoj kuŝas sur elipso en s-ebeno, centrita je s=0 kun reela duon-akso de longo ${\displaystyle \sinh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)}$ kaj imaginara duon-akso de longo ${\displaystyle \cosh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)}$ .

La tradona funkcio

La pli supra esprimo liveras la polusojn de la kompleksa amplifo G. Por ĉiu kompleksa poluso, estas alia kiu estas ĝia kompleksa konjugito, kaj por ĉiu konjugita paro estas du pliaj kiuj estas la negativoj de la paro. La tradona funkcio devas esti stabila, tiel kiel ĝia polusoj estas elektitaj nur tiuj kiuj havas negativajn reelajn partojn kaj pro tio kuŝas en la maldekstra duonebeno de kompleksa frekvenca spaco. La tradona funkcio estas tiam donita per

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{2^{n-1}\varepsilon }}\ \prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{(s-s_{pm}^{-})}}}$

kie ${\displaystyle s_{pm}^{-}}$ estas nur tiuj polusoj kun negativa signo antaŭ la reela termo en la pli supra ekvacio por la polusoj.

La grupa malfruo

Amplifo (verda) kaj grupa malfruo (ruĝa) de kvina-ordo speco-I-filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=0,5.

La grupa malfruo estas difinita kiel la derivaĵo de la fazo kun respekto al angula frekvenco kaj estas mezuro de la malformigo de la signalo pro fazaj diferencoj por malsamaj frekvencoj.

${\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))}$

La amplifo kaj la grupa malfruo por kvina-ordo speco-I-filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=0,5 estas grafike prezentita en la grafikaĵo dekstre. Videblas ke estas ondetoj en la amplifo kaj en la grupa malfruo en la pasanta bendo sed ne en la haltanta bendo.

Polusoj kaj nuloj

Logaritmo de la absoluta valoro de la amplifo de 8-orda speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev en kompleksa frekvenca spaco (s = σ + jω) kun ε=0,1 kaj ω₀=1. La blankaj makuloj estas polusoj kaj la nigraj makuloj estas nuloj. Ĉiuj 16 polusoj estas montritaj. Ĉiu nulo havas oblecon 2, kaj 12 nuloj estas montritaj kaj 4 situas ekster la bildo, du sur la pozitiva ω akso, kaj du sur la negativa. La polusoj de la tradona funkcio estas polusoj en maldekstra duonebeno kaj la nuloj de la tradona funkcio estos la donitaj nuloj, sed kun obleco 1. Nigra respektivas al amplifo de 0,05 aŭ malpli, blanka respektivas al amplifo de 20 aŭ pli.

Denove, alprenante ke la fortranĉa frekvenco estas egala al 1, la polusoj ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ de la filtrilo de Ĉebiŝev estas la nuloj de la denominatoro de la amplifo:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0}$

La polusoj de kompleksa amplifo de la speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev estas la inversoj de la polusoj de la speco-I-filtrilo:

${\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})}$

${\displaystyle \qquad +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

kie m = 1, 2, ..., n . La nuloj ${\displaystyle (\omega _{zm})}$ de la speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev estas la nuloj de la numeratoro de la amplifo:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0}$

La nuloj de la speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev estas tial la inversoj de la nuloj de la polinomo de Ĉebiŝev.

${\displaystyle 1/s_{zm}=-j\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)}$

por m = 1, 2, ..., n.

La tradona funkcio

La tradona funkcio estas donita per la polusoj en la maldekstra duonebeno de la kompleksa amplifa funkcio, kaj havas la samajn nulojn sed ĉi tiuj nuloj estas la solaj anstataŭ duopaj nuloj.

La grupa malfruo

Amplifo (verda) kaj grupa malfruo (ruĝa) de kvina-orda speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=0,1

La amplifo kaj la grupa malfruo por kvina-orda speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=0.1 estas montrita en la grafikaĵo. Videblas ke estas ondetoj de la amplifo en la haltata bendo sed ne en la pasanta bendo.

Topologio de Cauer

Malalta-pasa filtrilo kun topologio de Cauer

Pasiva LC-malalta-pasa filtrilo de Ĉebiŝev povas esti konstruita per topologio de Cauer.

Per frekvenca transformo kaj impedanca skalado, la ununormigita malalta-pasa filtrilo povas esti konvertita en alta-pasan filtrilon, bendo-pasan filtrilon, kaj bendo-haltan filtrilon de ĉiu dezirata fortranĉa frekvenco aŭ bendlarĝo.

Cifereca realigo

Kiel kun plejparto de analogaj filtriloj, la filtriloj de Ĉebiŝev povas esti konvertitaj en ciferecan diskreta-tempan rikuran formon tra la dulineara konverto. Tamen, pro tio ke ciferecaj filtriloj havas finian bendlarĝon, la amplitudo-frekvenca karakterizo de la konvertita filtrilo estas malformigata je grandaj frekvencoj. Alternative, la Z-konverta maniero povas esti uzata, kiu ne malformigas la karakterizon.