La fibonaĉi-nombroj sur fumtubo en Unna, Germanio

La nombroj de Fibonacci aŭ fibonaĉi-nombroj, estas elementoj de entjerosinsekvo

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (A000045 en OEIS),

en kiu la du unuaj elementoq estas aŭ 1 kaj 1, aŭ 0 kaj 1. Ili estis nomitaj honore de la itala matematikisto Leonardo Pisano, konata kiel Fibonaĉi^[1]. Pli formale tiun ĉi sinsekvon ${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}}$ oni difinas per rikura formulo:

${\displaystyle F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\geqslant 2,\quad n\in \mathbb {Z} .}$

aŭ

${\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{se }}n=0;\\1&{\mbox{se }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{se }}n>1.\\\end{cases}}}$

Oni povas ĝeneraligi fibonaĉi-nombroj por negativaj ${\displaystyle n}$. Por trovi elementojn ĉe negativaj ${\displaystyle n}$ oni uzu la renversitan formulon ${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}$:

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
${\displaystyle F_{n}}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…

Oni povas facile rimarki ke ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}$.^[2]

La kvanto da kuniklaj paroj formas la sinsekvon de Fibonaĉi

Historio

La sinsekvo estis konata ĉe barataj matematikistoj multe pli antaŭe ol la tempo de Fibonaĉi.^[3]

Ekster Barato la sinsekvo aperis en la libro Liber Abaci (1202) fare de Fibonaĉi. Li esploris la kreskadon de ideala (biologie neebla) populacio de kunikloj. En ĉiu paro de tiuj kunikloj ino ekde la dua monato de sia vivo naskas unu plian paron ĉiumonate kaj kunikloj neniam mortas. Do se komence estas unu paro ĵus naskitaj kunikloj, post monato estas ankaŭ unu paro, post du monatoj estas 2 paroj (la unua paro komencas naski), post tri monatoj — 3 paroj, post kvar monatoj — 5 paroj (naskas du paroj) k.t.p. Post n-a monato la kvanto da paroj egalas sumon de la kvanto post (n-1)-a monato (tiuj paroj jam estis kaj restis plu) kaj la kvanto post (n-2)-a monato (tiom da paroj estis naskitaj ĉi-monate).^[4]

La nomon “fibonaĉi-nombroj” unuafoje uzis en 19-a jarcento la franca matematikisto Édouard Lucas.^[5]

Rekta (ne rikura) formulo

Ekzistas formulo por kalkuli nur la n-an Fibonaĉi-nombron ne kalkulante ĉiujn antaŭajn. Oni konas ĝin kiel la formulo de Binet, kvankam ĝin pli frue konas Abraham de Moivre:^[6]

${\displaystyle f(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right].}$

Ligo kun la triangulo de Pascal

La fibonaĉi-nombroj estas la sumoj de elementoj laŭ la ruĝaj strekoj en la triangulo de Pascal

La fibonaĉi-nombroj aperas en la triangulo de Pascal kiel sumoj de ĝiaj elementoj laŭ strekoj, indikitaj sur la bildo dekstre. La sumojn oni povas esprimi tiel:

${\displaystyle F_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\tbinom {n-k-1}{k}}}$

Ligo kun la Ora proporcio

Laŭ la formulo de Binet:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}}$

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.6180339887\dots }$ (A001622 en OEIS)

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }=(-\varphi )^{-1}\approx -0.6180339887\cdots }$;

${\displaystyle \varphi }$ estas la ora proporcio; ${\displaystyle \varphi }$ kaj ${\displaystyle (-\varphi )^{-1}}$ estas solvoj de la kvadrata ekvacio ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$.

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}}$

Rondiga kalkulado

Ĉar ${\displaystyle \left|{\frac {(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}$ por ĉiu ${\displaystyle n>0}$, do ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ estas la plej proksima entjero por ${\displaystyle F_{n}}$:

${\displaystyle F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,}$

aŭ, uzante la plankan funkcion:

${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.}$

Sciante, ke ${\displaystyle F}$ estas fibonaĉi-nombro oni povas trovi ĝian numeron:

${\displaystyle n(F)={\bigg \lfloor }\log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor }}$

La spiralo de Fibonaĉi proksimumas al la ora spiralo^[7]

Identaĵoj

1). ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1}$.

Same per indukto oni povas facile pruvi la tri sekvajn identaĵojn:

2). ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{2k-1}=F_{2n}}$;

Ilustraĵo de la formulo 4

3). ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{2k}=F_{2n+1}-1}$;

4). ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{k}^{2}=F_{n+1}F_{n}}$.

La lastan identaĵon oni povas ilustri, tranĉante la ortangulon kun lateroj je ${\displaystyle F_{n}}$ kaj ${\displaystyle F_{n+1}}$ en kvadratojn kun lateroj je ${\displaystyle F_{n},F_{n+1},\cdots ,F_{1}}$ (vidu la bildon dekstre).

Ĝeneraligoj

Ekzistas multaj ĝeneraligoj de fibonaĉi-nombroj:

• Por negativaj ${\displaystyle n}$ — “negafibonaĉi”.^[2]
• Ĝeneraligoj por reeloj kaj kompleksaj nombroj. Por tio oni uzas oran proporcion kaj kaj modifitan formulo de Binet.
• Starto de aliaj enjeroj. Ekzemple, la nombroj de Lucas (A000032 en OEIS): ${\displaystyle L_{0}=2,}$ ${\displaystyle L_{1}=1,}$ ${\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}}$.
• La sekvantan nombron oni kalkulas el du antaŭaj per iu lineara formulo. Ekzemple, nombroj de Pell (A000129 en OEIS): ${\displaystyle P_{0}=0,}$ ${\displaystyle P_{1}=1,}$ ${\displaystyle P_{n}=2P_{n-1}+P_{n-2}}$.
• Por kalkuli la sekvantan nombron oni adicias nombrojn ne tuj antaŭajn. Ekzemple, la sinsekvo de Padovan (A000931 en OEIS): ${\displaystyle P(0)=P(1)=P(2)=1,}$ ${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}$.
• Por kalkuli la sekvantan nombron oni adicias la 3 antaŭajn nombrojn (tribonaĉi-nombroj: A000073 en OEIS), la 4 antaŭajn nombrojn k.t.p.
• Oni konsideras sinsekvon de iuj objektoj (ne entjeroj), kiu formiĝas per reguloj similaj al fobonaĉaj. Ekzemple, fibonaĉi-polinomoj:

${\displaystyle F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=1;\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=2;\\x\cdot F_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{se }}n\geq 3.\end{matrix}}\right.}$

Vidu ankaŭ

• Teoremo de Carmichael pri primaj faktoroj.
• Fibonaĉi-poemo
• Fibonaĉi-polinomoj
• Logaritma spiralo
• Penrosa kahelaro
• Sistemo L

Eksteraj ligiloj

• Listo de 300 unuaj fibonaĉi-nombroj (angle).

Referencoj